斐波那契数列与黄金分割

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1、上一页下一页主页返回退出意大利的数学家列昂那多斐波那契在1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？（取自斐波那契的算盘书（1202年）一、斐波那契数列上一页下一页主页返回退出题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子求的是大兔子与小兔子的总和列表考察兔子的逐月繁殖情况月份大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8

2、13 21 34 55 89到十二月时有大兔子144对，小兔子89对，共有兔子 144+89=233对上一页下一页主页返回退出月份大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 从上表看出：每月小兔对数=上月大兔对数。每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和综合两点，我们就有：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和如果用 un 表示第 n 月的大兔对数，则有 un = un-1 + un-2 , n 2每月大兔对数 un 排成数列为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，

3、55，89，144，此数列称为斐波那契数列上一页下一页主页返回退出此数列有下述递推公式：u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n 2 斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，上述数列中的每一个数称为斐波那契数用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：上一页下一页主页返回退出斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：这个数正是有名的黄金分割数上一页下一页主页返回退出数学的各个领域常常奇妙而出乎意料地联系在一起斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命发人

4、深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现上一页下一页主页返回退出自然界中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣上一页下一页主页返回退出向日葵花盘内葵花子排列的螺线数上一页下一页主页返回退出向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日

5、葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数上一页下一页主页返回退出证券投资的艾略特“波浪理论”1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“ 波浪理论” 该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的8（或5）个波组成，其中5上3下（或3上2下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中的数同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，其幅度应在5点左右5、8、1

6、3为斐氏数列的相邻三项上一页下一页主页返回退出二、黄金分割著名天文学家开普勒说：几何学里有两个宝库，一个是毕达哥拉斯定理，一个是黄金分割前者可以比作金矿，后者可以比作珍贵的钻石矿上一页下一页主页返回退出两千年前，希腊数学家考虑如下问题：设线段 AB ，在 AB 上找一点 C ，使得令于是有可化为一元二次方程该方程的根为上一页下一页主页返回退出于是其倒数即 C 点约在 AB 长度的 0.618 的位置上希腊数学家把这个几何问题里的点 C 叫作黄金分割点，这个比值称为黄金分割数上一页下一页主页返回退出以 AB ，AC 为边作矩形，这个矩形称为黄金矩形国旗所在的矩形是

7、黄金矩形上一页下一页主页返回退出矩形长宽宽与长之比 1855:8=0.625 21388:13=0.6153211313:21=0.619 4342121:34=0.618所选的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于 0.618，即都接近黄金矩形19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次试验他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，要求参观者投票选择各自认为最美的矩形结果以下四种矩形入选：上一页下一页主页返回退出美丽的五角星，五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的上一页下一页主页返回退出黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉

8、斯所发现，后来古希腊美学家柏拉图将此称为黄金分割 0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“合谐” 上一页下一页主页返回退出随着人类对自然界（动物、植物、宇宙、人类自身）的认识的日益深入，人类关于“黄金分割比”这一神奇比例的了解也越来越丰富，人们发现自然界中这一神奇比例几乎无所不在。从低等的动植物到高等的人类，从数学到天文现象中，几乎都暗含着这种比例结构。上一页下一页主页返回退出黄金分割大

9、量地出现在绘画艺术中，并形成了黄金分割学派，其中包括达芬奇、A.丢勒、G. 西雷特等许多画家15世纪和16世纪早期，几乎所有的绘画大师都试图将绘画中的数学原理与数学和谐和主要目的结合起来米开朗琪罗、拉斐尔及其他许多艺术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术上一页下一页主页返回退出例如，画家波提切利的名作“维纳斯的诞生”女神维纳斯从爱琴海中浮水而出，花神、风神迎送左右的情形画中也包含了黄金分割上一页下一页主页返回退出画家A.丢勒寻求将人体的形状归结为数学原理，这在他的数以百计的素描中得到证明A.丢勒的人体素描上一页下一页主页返回退出达芬奇是一位对科

10、学有广泛研究的学者，他对人类身体的各种比例进行了具体测量，1409年，根据维特鲁维之理论创作了人体比例图（Study of Human Proportions According to Vitruvious）。而在论绘画一书达芬奇指出：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上，各特征必须同时作用，才能产生使观众如醉如痴的和谐比例。”在这一时期，艺术家们自觉地被黄金分割的魅力所诱惑而使数学研究与艺术创作紧密地结合起来，并对后来的形式美学与实验美学产生了巨大影响。黄金分割出现在达芬奇的许多著名作品中，如蒙娜丽莎、最后的晚餐和未完成的作品圣徒杰罗姆（Saint Jerome）。应

11、当认为这不是偶然的巧合，而是达芬奇有目的地使画像与黄金分割相一致。因为在达芬奇的著作和思路中，处处表现出对数学应用的强烈兴趣。达芬奇说过：“没有什么能不通过人类的探求而称之为科学的，除非它是通过数学的解释和证明的途径。” 上一页下一页主页返回退出达芬奇自画像上一页下一页主页返回退出达芬奇广泛研究了人类身体的各种比例，右面一张图画的是他对人体的详细研究，而且图中标明了黄金分割的应用。这是一张他为数学家帕西欧里的书神奇的比例所作的图解，该书出版于年。达芬奇与黄金分割上一页下一页主页返回退出上一页下一页主页返回退出画中耶稣位于正中央，双手摊

12、开，两臂与周围的空间形成了一大一小两个倒三角形。上一页下一页主页返回退出未完成的作品圣徒杰罗姆（Saint Jerome），该画约作于公元1483年。在作品中，圣徒杰罗姆的像完全位于画上附加的黄金矩形内。上一页下一页主页返回退出神奇的“黄金分割比”自古至今也出现在许多伟大画家的著名作品中，如米开朗基罗的圣家庭（Holy Family）就是典型的例子，它的人物构图布置中包含着一个“黄金五角星” 。上一页下一页主页返回退出拉斐尔的刑罚 (Crucifixion)人物布局以“ 黄金三角形” 和“黄金五角星”展开。上一页下一页主页返回

13、退出现代绘画中超现实主义画家达利（Salvador Dali，1904-1989）的最后的圣餐（The Sacrament of the Last Supper）最能说明问题，整幅画面置于一个“黄金矩形”之中，而人物的布置也包含着黄金比例，餐桌的上方是一个巨大的十二面体的一部分，这个多面体包含12个符合黄金比例的五边形。上一页下一页主页返回退出黄金分割与人体关系黄金分割与人体关系人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出18 个“黄金点”（如：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）15个“黄金矩形”（如躯

14、干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）、6个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）、3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）。人的面部就包含多个“黄金矩形”，如眉间点：发际颏底间距上 1/3与中下2/3之分割点；鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3 之分割点；唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；右口角点：口裂水平线右1/

15、3与左2/3之分割点。上一页下一页主页返回退出健美的人体（如古希腊雕塑米罗的维纳斯看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据米罗的维纳斯身材各部分的尺寸。她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近所追求的人体美标准，即身与头之比为81。由于8为 3加5之和，这就可以分割成135，这就是 “黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。）亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。上一页下一页主页返回退出上一页下一页主页返回退出高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹画家们发现， 0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为 0.618，从而创造艺术美难怪许多姑娘都愿意

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