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1、第三章 傅里叶变换 信号的正交分解 傅里叶级数 周期信号的频谱 傅里叶变换 抽样信号与抽样定理 将以上两图简化： 引 言 傅里叶级数的发展史： 1807年，法国数学家傅里叶提出 “ 任何 ” 周期信号都可以利用正弦级数来表示。 1829年，狄义赫利指出，周期信号只有满足了若干限制条件，才能用傅里叶级数来表示。 傅里叶级数与变换的应用 物理学、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学 等。 反映地球气候的周期性变化很自然地会引入正弦信号； 交流电源产生的正弦电压和电流； 无线电台和电视台发射的信号都是正弦的。 4 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函
2、数级数表示” 1807年向巴黎科学院呈交热的传播论文， 推导出著名的热传导方程 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和” 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点 一、 正交函数与正交函数集 设 f1(t)和 f2(t)是定义在 (t1,间上的两个实变函数 (信号 )，若在 (t1,间上有 则称 f1(t)和 f2(t) 在 (t1,正交。 号的正交分解 若 f1(t)， f2(t), , fn(t)定义在 (t1,间上，并且在 (t1,内有 则 f1(t)， f2(t)
3、, , fn(t) 在 (t1,称为 正交函数集 ，其中 i, r=1,2, ,n; f1(t)， f2(t), , fn(t)称为 归一化正交函数集 。 210)()(3 - 6 ) 21 10)()(tt ri 3 - 7 )二、 完备的正交函数集 如果在正交函数集 f1(t)， f2(t), , fn(t) 之外，找不到另外一个 非零函数 fi(t)与该函数集中每一个函数都正交，则称该函数集为 完备正交函数集。 定理 1: 设 f1(t)， f2(t), , fn(t) 在 (t1,间内是某一类信号 (函数 )的 完备正交函数集 ，则这一类信号中的任何一个信号 f(t)都可以精确地 表示
4、为 f1(t)，f2(t), , fn(t) 的 线性组合 。 式中， 有 )()()()( 2211 ( 3 - 9 )常称正交展开式，有时也称为欧拉傅里叶公式或广义傅里叶级数， 式子可以理解为： f(t)的能量等于各个分量的能量之和， 即反映能量守恒。定理 2也称为帕塞瓦尔定理。 定理 2 在式 条件下，有 )()()()( 2211 ( 3 - 9 ) 例 已知余弦函数集 , (1) 证明该函数集在区间 (0,2) 内为正交函数集； (2) 该函数集在区间 (0， 2) 内是完备正交函数集吗 ? (3) 该函数集在区间 (0， /2) 内是正交函数集吗 ? 解 :(1) 因为当 ir 时
5、 可见该函数集在区间 (0， 2) 内满足正交函数集的定义式，故它在区间 (0， 2) 内是一个正交函数集。 当 i=(2) 因为对于非零函数 即 0， 2) 内与 交。故函数集 区间 (0， 2) 内 不是完备正交函数集 。 0c o ss o ss n t d t d 时，当时，当(3) 当 ir 时 对于任意整数，此式并不恒等于零。因此，根据正交函数集的定义， 该函数集 区间 (0, /2)内不是正交函数集 。 结论： 一个函数集是否正交， 与它所在区间有关，在某一区间可能正交， 而在另一区间又可能不正交。 2/0 22 2s i o o i n1c o sc o s t d 常见的完备
6、正交函数集 (1)三角函数集 t， t(n=0,1,2 ) 在区间（ t0,）内，有 d ()(2)(0c o sc o 1 d )0,(0s i ns i 1 t c 1 2T 在（ t0,）区间内， 三角函数集对于周期为 而且是完备的正交函数集(其完备性在此不讨论 )。而函数集 t,t，也是正交函数集，但它们均不是完备的。 (2) 函数集 在（ t0,）区间内，对于周期为 是一个完备的正交函数集。 3) 函数集 在区间 (- ， )内，对于 有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集 。这里 称为抽样函数。 ),2,1,0) ( a 期信号的傅里叶级数 一、傅里叶级数的三角函数形式： 从数学
7、上讲，当周期信号满足狄里赫利条件时才可展开为傅里叶级数。 （ 1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的个数应是有限的； （ 2）在一个周期内，极大值和极小值的个数是有限的； （ 3）在一个周期内，信号时绝对可积的。 但在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这个条件，故以后一般不再特别注明此条件。 周期信号可分解为 (三角型傅里叶级数 ): )s i n ()c .)s i n ()c .)2s i n ()2c )s i n ()c )(111011121211110 100 )(110 100 )c o s ()(2 11余弦分量的幅度： 100 )s i n ()(2
8、11正弦分量的幅度： 周期信号可以分解为各次谐波之和。称为周期信号 f(t)的 余弦型傅里叶级数展开式。 )c )( 110 )s )( 110 r c t a na r c t a nc 另一种形式 : 任何周期信号，只要满足狄里赫利条件，都可以分解为许多频率成整数倍关系的正 (余 )弦信号的线性组合。 在三角型傅里叶级数展开式中， 流成分 ； t, 波分量 ， 1=2 /波频率 ； 波分量 。 直流分量的大小，基波分量和各次谐波的振幅、相位取决于周期信号的波形。有： 的偶函数， 奇函数， 例 如图所示锯齿波，求其三角型傅里叶级数展开式。 t 2 2f ( t )图 3 - 3解 : 由图可
9、知，该信号 f(t)在一个周期区间 () 内，有 由三角型傅里叶级数展开式，得 故该信号 f(t)的三角型傅里叶级数展开式为 .)2,1,0(,00 (c i 1 12 T1 1 1 1 二、指数形式 与三角型傅里叶级数系数关系 t 0 1011 )(1)( 0000 )(21 )(21 三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 1、偶函数 若周期信号 f(t)波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(其傅里叶级数展开式中 只含直流分量和余弦分量 ，即 1 2、奇函数 若周期信号 f(t)波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=t) 其傅里叶级数展开式中 只含有正弦项 ，即 3、奇谐函
10、数 若周期信号 f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形相对于时间轴像对称，即满足 则称为 奇谐函数或半波对称函数。 其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦项的 奇次谐波分量 。 )(2( 11T4、偶谐函数 若周期信号 f(t)波形沿时间轴平移半个周期后与原波形完全重叠，即满足 则为 偶谐函数或半周期重叠函数。 其傅里叶级数展开式中只含有正弦和余弦波的 偶次谐波分量 。 21号频谱的概念 从广义上说，信号的某种特征量 随信号频率变化的关系，称为信号的 频谱 ，所画出的图形称为信号的频谱图。 描述各次谐波 振幅 与频率关系的图形称为 振幅频谱 描述各次谐波 相位 与频率关系的图形称为 相位频谱 典型周期信号的傅里叶级数 nA n则对应的振幅频谱 和相位频谱 称为 单边频谱 。 2、 双 边频谱 若周期信号 f(t)的傅里叶级数展开式为 n则对应的振幅频谱 和相位频谱 称为 双边频谱。 1、单边频谱 若周期信号 f(t)的傅里叶级数展开式为 )c )( 110 )()(11、 周期矩形脉冲信号 (1) 傅里叶级数 t)( 210 14 4 2( ) c o s c o s )2f t n td t E
