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1、第十七章 一元二次方程 教学内容 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0) (x1、x2是它的两个根) （一）解法1直接开平方2配方法3公式法 求根公式 x=4因式分解法 （二）判别式：b2_4ac0 方程有两个不等实根b2_4ac=0 方程有两个相等实根b2_4ac0 方程没有实根aacbb 242-（三）根与系数关系ax2+bx+c=0 (a0) (x1、x2是它的两个根)x1+x2 = x1x2 = (四) 可化为一元二次方程的分式方程（五）二元二次方程组1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成2由两个二元二次方程组成ab-ac二、本章重点1一元二次方程的解法2可化为一元二次方程的
2、分式方程的解法3列方程解应用题三、本章难点1配方法2列方程解应用题3分式方程的增根和验根问题四、本章的关键 熟练掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。 一元二次方程 应注意以下五个方面：通过化简后，只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2，系数不等于0的整式方程 叫一元二次方程。 解题规律： （1）是否为一元二次方程应依据定义来判定； （2）“未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的。1（2003）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A 3(x+1)2=2(x+1) B C ax2+bx+c=0 D x2+2x=x2-10211=-+ xx22（2002）方程（m+2）xm+3
3、mx+1=0是 关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）注意：求字母系数的值（或范围），要防止 漏条件，尤其是隐含条件。 3（2003）如果a是关于x的方程x2+bx+a=0的根， 并且a0,求 的值。（填序号）ab a+b a-bab4。已知7x2+5y2=12xy,并且xy 0，求 的值 。 xy x+y x-yyx说明：关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的条件 是a0，反过来，“一元二次方程”这个说法中则包 含a0的条件。 例方程（k-5）(k-3)xk-2+(k-3)x+5=0 （1）k为何值时，此方程为一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程为一元二次方程? 直接开平方法：
4、用直接开平方法求解的方程的特征是： 方程的一边是一个含有未知数的式的平方， 另一边是一个大于或等于零的常数（若为负 数，则无实根），形式如方程（ax+b）2=c (c0)注意问题： 1方程的两边应同时开平方，如方程 （x+2）2=3，两边同时开平方得x+2= , 而不是得x+2=3的错误结果；32开平方后，方程的一边应有“”号， 即有相等或互为相反数的两种情况。 配方法：设法将一元二次方程配成（x+m）2=n的 形式，再利用直接开平方法求解，这种解 一元二次方程的方法叫配方法。其理论依 据是a22ab+b2 = (ab)2 ，这里a2相当于x2 ， 2ab相当于一次项，2b就相当于一次项 系数
5、，因此b2就是一次项系数一半的平方了 。 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把原方程化为ax2+bx+c=0(a0)的形式； （2）方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）方程左边写成完全平方式，右边化简为一个常数； （5）用直接开平方法求解。注意问题（1）方程两边同时加上一次项系数一半的 平方的前提是二次项系数为1；（2）不要将完全平方公式用错，如 而不是 或 22)81(641 41+=+xxx2)81( -x2)21(+x 公式法：用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化成一般式，进而确定a、b、c
6、的值（注意符号）；（2）求出b2-4ac的值,（若b2-4ac0,方程无实数根)；（3）在b2-4ac0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，最后写出方程的根。 注意事项：（1）确定a、b、c的值时，要注意符号，尤其 是a、b、c值为负数时；（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等实根， 不要认为只有一个实数根，如方程 其解应写成 x1=x2= ，而不可写成x=（3）利用求根公式解一元二次方程时， 要注意两个前提，a0 0例 解关于x的方程：(m+1)x2+2mx+(m-3)=0说明：“关于 x的方程”这个说法中，包含一元 一次方程和一元二次方程两种情况。解题时应 根据方程的形式对字母
7、的取值加以讨论（1）m+1 0 （2）m+1 0 =b2-4ac =4(2m+3) 0，m -23 因式分解法对关于x的方程ax2+bx+c=0 (a0)，可化为(a1x+b1)(a2x+b2)=0的形式，求出方 程的根x1= , x2= 的方法，叫因式分解法。因式分解法的理论依据是： AB A=0 或 B=0（ A、B为整式）用因式分解法的条件是： 方程的左边易于分解，而右边等于零。11 ab-22 ab-因式分解的解题步骤是： （1）化方程式为一般形式； （2）将方程左边因式分解； （3）令每个因式分别得零，得到两个一元一次方程； （4）解两个一元一次方程得原方程的解。因式分解法的关键是：
8、 熟练掌握多项式因式分解的方法。 注意问题： （1）使用因式分解法的前提是方程一边等 于0。当方程一边不为0时，将导出错误的答 案。如有同学解 x2+2x=8 时，分解左边得 x(x+2)=8 ，于是得x1=2, x2=2 的错误答案。 正确的做法是，先移项，再分解(x+4)(x-2)=0， 从而得x1= -4,x2=2(2)解方程时，不能两边同时约去含有未知数 的代数式。例如 解方程（x-3）(2x+1)= （x-3）（3 x +5 ）本题易犯的错误是约去方程两边的（x-3）, 将方程变为: 2x+1= 3 x +5,因而得x=-2.这样就 丢掉了x=3这个根.本题的正确解法是:（x-3）(
9、2x+1) -（x-3）（3 x +5) = 0（x-3）(2x+1- 3 x 5) = 0（x-3）(x+4）= 0x1 =3, x2 =-41.(2x+3)(2x-3)=92. +4x-8=03.3 -4x-4=04.2 -5x+1=02x2x2x小结： 选择适当的方法解一元二次方程的关键是认真观察 方程的特征。在特征不明朗时，要先整理方程。解 题时切忌盲目下手。习题 1解方程 (2x-1)2-3(2x-1)-4=02已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求出a2+b2的值3已知3x2-7xy-20y2=0 求证 x=4y 或 3x=-5y4. 若关于x的一元二次方程x2+mx+n
10、=0有两 个相等的实数根，则符合条件的一组的实 数值可以是m= , n= .注意问题：1如果说方程有实数根，即应当包括方程只有一个实根和有两个不等实根或有两个相等实根三种情况；2如果方程不是一般形式，要化为一般形式，再 确定a、b、c的值；3使用判别式的前提是方程为一元二次方程 ，即二次项系数a0；当二次项系数含字母时 ，解题时要加以考虑； 一元二次方程的根的判别式判别式的应用1不解方程就可以直接判定方程的根的情况；2已知方程根的情况，确定方程中未知系数（或参数）的取值范围；3判别或证明一元二次方程的根的性质； 4判别二次三项式ax2+bx+c(a0)能否在实数范围内分解因式(1) 当0 时，
11、二次三项式在实数范围内能分解因式；（2）当0 时，二次三项式在实数范围内不能分解因式。 5和韦达定理结合，求方程中的参数和两根；6利用判别式判别三角形的形状例已知：a、b、c为ABC三边，且方程 a(1- x2)+2bx+c(1+ x2)=0有两个相等实根，试判定ABC 的形状。7判别二次函数的图像与x轴的位置关系，确定解析式中 参数的取值范围。（1）当0时，二次函数图像与x轴有两个交点（2）当=0时，二次函数图像与x轴有一个交点（3）当0时，二次函数图像与x轴有没有交点8利用判别式，求有关的极值问题。 证明代数式 的值不小于3- 而不 大于3+ 。545222+xxxx谢谢 ！； http:
12、/ 机房动力环境监控 西安机房监控 djm948ach 我把欠条小心翼翼地放到口袋里，这才发现他们拿的菜全都是老百姓吃不起的菜。当时，山里的人都是吃白菜、萝卜之类的粗菜，在 他们的眼里压根儿也不知道世上还有这样的菜，别说是买不起就是送给他们，他们也根本就不知道怎么个吃法。由此可见，那时我的 家乡有多么的落后和贫穷，只知道白菜炖粉条。只有来了贵客或者逢年过节才用芹菜炒肉丝做一道美菜，算是山里人最丰盛的佳肴。 回到家里，我点了点钱。使我大出预料，三百多斤菜，纯挣一百多元，还有一些没卖完的贵菜，总共加起来不下于一百五六十元。那 时的建筑工每天八块钱，我和妻子一天的收入整整是他们半个月的工资，工作量比
13、他们还小得多。何乐而不为！ 我坚定了自己的信心！同时悟出了一个道理，那就是山里的人为什么穷？城里的人为什么富？只有一个字懒！城里的人已经上班 的上班，做买卖的做买卖了，山里的人还在睡大觉。 也许我就是杨柳树村里大梦初醒的第一个人！出了这样的事，我们不能坐视不管。我不但没有记恨马天栓，反而替马大嫂以后的生活担起心来于是，我和妻子来到了马天栓的 家。 在她家的客厅里，马大嫂一把鼻涕一把泪地哭诉着，“六弟，不瞒你说，自从荷花离开了我家，我们失去了你的帮助，没有了经济来 源。他整天的游手好闲，又染上了打牌赌博的坏习惯到头来欠了一屁股的债，快要过年了，债主催得紧，谁想到他却干起这种伤 天害理的事来”她的声音哽咽了，一时说不出话来。 我和肖艳都无话可说，因为尽管我们的大脑在加速转动，还是没有想出合适的语言来安慰她那已受伤的心。 沉默良久，等她的情绪平静下来之后，她接着说：“六弟，我知道你对嫂子有看法，但是你们不是为了生个儿子才把荷花送给我们的 吗？当我们自己生了女儿以后，同你们的想法一样，所以又把荷花还给了你弟妹，你知道我们的女儿为什么叫念儿？就是想念的 意思。每当看着自己的女儿就想起荷花，我的心里就不是个滋味”说着说着，她又抽泣起来。 是啊，这条路我走过，我深深地饱尝过所有的痛苦“马大嫂，过去的事情就让它过去吧。马大哥的事我们
