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1、数学史的发展和其它学科有着许多 相同的地方，即存在许多奇异的想 法或追求完美的理想，其原因在于 或者理论知识发展的局限性，或者 社会制度、宗教等的因素。但是这 些思想的出现对于推动数学的进步 是积极的。在中学我们就知道，几何作图 严格局限于圆规和无尺度直尺 。这种限制从古希腊一直延续 至今。为什么？古希腊认为，所有图形都是由 直线和圆弧构成的，圆是最完 美的图形。他们确信仅靠圆规 和直尺就可以绘出图形来。他 们还认为，依据少量假设，通 过逻辑把握的东西最可靠。如求线段AB的中点步骤为：1、以A为圆心，以一适当的长度为半径画 弧；2、以B为圆心，以同样长度的半径画弧；3、两弧交于两点，作两点连线
2、，其与AB 的交点即为AB的中点。人们很快找到了正三、四、五、 六边形的尺规作图的方法，然而 在正七边形的尺规作图时，一直 研究了2000多年！17世纪，法国业余数学家费马提 出了猜想：形如Fi=22i+1是素数！i=0,1,2,3,4时Fi是的 确如此。而i=5时F5 是不是素数则在差不多100年后才由伟大的 欧拉证明它不是素数！F5=6416700417.看来，验证一个大数是否为素数 是一个多么困难的事啊！迄今为止，人们只知道F1,F2,F3, F4, F5是素数。人们又猜想费马 素数只有有限个，但仍是一个未 解问题。在欧拉之后60年，德国数学家 高斯20岁时发现了正多边形的 边数是费马素
3、数时是可以用尺 规作图的，并且得到一般性结 论：正n边形可尺规作图的充分 必要条件是：由此我们知道正7边形是不可以 尺规作图的！因为7不是费马素 数。而正17边形（属于高斯，80多 页），正257边形（200多页） 是可以用尺规作图的。高斯的 墓碑上刻着一个正17边形。大家可以验证3，5，17， 257是否为费马素数。古希腊流传下来的还有三大几 何作图难题：1、化圆为方： =2、倍立方问题 ： =3、三等分角问题。它们的解决实际上都促进了几 何与代数，也就是现在的解析 几何的产生与发展。上述三个 问题都是不可能的！1、化圆为方，因为是超越无 理数。是不可作几何量。2、倍立方问题。因为 是不 可
4、作几何量。3、三等分角问题。以60度角为例，可得到代数方程前面已经提到，古希腊的几大几何 难题都是借助于代数方法得到解决 的。实际上，从公元前到公元16世 纪，几何与代数各自并行发展着。 表面上看，几何似乎是关于形的科 学而与数无关，代数似乎是关于数 的科学而与形无关。代数与几何难以联系的原因是：人 们心目中的数是相互孤立的，难以 从数想到由无穷多个点构成的线等 图形。而对于形来说，例如线段或 封闭图形，它们与数的联系也只限 于长度与面积，难以从图形想到数 的能力。人们从“运动”的角度来联系数与形 的：决定性的工具是建立了坐标系 ，点 数。点的运动形成了线， 线的运动形成了体。数与形的充分结合
5、才产生了解析 几何。解析几何的主要创始人是笛卡儿！ 在笛卡儿之前，就已经出现了代数 与几何的结合，即解析几何的萌芽. 我们来看一个例子。求比例中项问题。求给定长度AB与 AC的比例中项。若AB=AC，那么他们本身就是比例 中项，否则，可设ABAC.将AB置于AC上, 以AC为直径画圆, 过B点作AC的垂 线交圆于D,连接 AD,AD即为所求 比例中项.接着,我们依 次作出E、F、G 、H、.使得因为AD=x时,AF=x3,AF=AD+DF,故 当DF=a时,我们得到X3=x+a结论:从几何得到了一个代数方程. 另一方面,若a是已知数,那么AD=x作 为方程的根可以在几何上表示出来( 尺规作图)
6、.反过来,笛卡儿对几何问题应用了代 数方法:研究几何轨迹问题.解析几何的精华在于把几何曲线用 代数方程来表示,同时又用代数的研 究方法来研究几何.这种方法显示了 其强大的生命力:代数是纯演算的和推理的,它只需要逻辑的和技巧的,而 不需要面对千变万化的几何曲线的 表面现象得到其本质性的东西.即几 何曲线(曲面)的分类.通过代数方法(平移和旋转)我们可 以把一般方程化为标准方程.而且还 有三个不变量.它们是二次曲线的本 质三类:椭圆、双曲线和抛物线。难以想象,没有代数的参与,在 众多曲线中我们能看到这些本质性 的东西.解析几何出现后不久，微积分也被 发现了。可以说，微积分不仅是数 学的伟大发现，也
7、为近代科学开辟 了光明的道路；微积分不仅是17世 纪的伟大发现，而且是世界人类文 明史上最为光辉灿烂的发现。微积分的来源是科学发展对数学要 求的必然：速度、距离、重心；切 线、长度、面积、体积；极值问题 等等。微积分的创立是以发现微分与积分 互为逆运算为标志的，即我们所说 的微积分学基本定理：微积分的伟大意义在于：1、微积分改变了数学的研究对象、 方式和方法，带来了数学空前和持 久的繁荣昌盛！显示了数学内部的 辨证统一的深刻哲理。2、推动了自然科学、工程技术、社 会科学的发展。有了微积分，它就 成为了物理学的基本语言。其他如 力学、天文学、化学等学科都得到 了无限的推动力。近代的生物学、 地理
8、学、经济学、社会科学等都离 不开数学。3、对人类物质文明作出了巨大贡献 。数学方法的应用和更新，通过其 他学科对人类的进步产生了前所未 有的作用：工业革命、人造卫星、 新星的发现、经济规律、金融运作 等等。4、对人类文化产生了革命性的影响 。只要研究变化规律就要用到微积 分，在人文、社会科学领域也是如 此。哲学（马克思、恩格斯）、经 济学、考古学、社会学、心理学、 语言学、法学它们直接影响着 人们的世界观和文化结构。一个遗憾的事：几乎所有的大学生 不知道非欧几何，甚至数学类专业 的本科生（包括部分大学数学教师 ）也是如此。今天我们试图来弥补这个遗憾，来 了解影响和改变世界的非欧几何。欧氏几何在
9、公元前300年就已产生， 起特征是建立了公理化方法：即从 几个概念和几个命题，演绎出本学 科其它所有概念和命题，从而构成 这一学科的全貌。运用这种方法的 学科被认为是严谨的科学和成熟的 科学。欧氏几何的公理体系出现在欧几里 德的集合原本中，在其之后的 2200后，希尔伯特在几何基础 加以完善。其间，许多数学家作了 许多公理体系的完备性工作。然而，令人放心不下的是该公理体系中的第五公理，即平行公理的独 立性问题。因为人们发现即使欧几 里德本人也尽量避免使用它。所以 人们开始从三个方面研究平行公理 。1、试图给出新的平行线定义以绕 开这个困难；2、试图用比平行公理缺点更少的其 他公理取代它；（等价
10、或包含）3、试图用其他公里推出它。第三个问题得到的最多的研究，但 是毫无结果。在用反证法研究第三个问题时，试 图推出矛盾，但是没有。实际上， 反证法就是假设与第五公理不成立 。第五公理是说：过已知直线外一点，可作一条也只 可作一条直线与已知直线平行。19世纪初，俄罗斯人罗巴切夫斯基 在否定第五公理的同时，假设其反 面之一：“过已知直线外一点，可作 多于一条的直线与已知直线平行”， 得到了一系列定理，并且认为他得 到了一门新的几何学。这是过去 2000年以来的重大突破。罗巴切夫斯基1826年2月11日宣布 自己建立了新的几何学之后，得到 了许多数学大家的嘲笑、讽刺，德 国诗人歌德也出来讽刺他。实
11、际上 ，罗巴切夫斯基的理论得到世界的 认可是在他去世几十年后的事了.在罗氏几何产生后的1854年，德国 数学家黎曼把欧氏第五公理改为：“ 过已知直线外一点，没有与其平行 之直线”，得到的一种新的几何学 黎曼几何，为非欧几何的另一翼 。绝对几何欧氏几何罗氏几何黎曼几何联系公理 迭合公理 顺序公理 连续公理非欧几何的产生具有三个重大意义:1、解决了平行公理的独立性问题。 推动了一般公理体系的独立性、相 容性、完备性问题的研究，促进了 数学基础这一更为深刻的数学分支 的形成与发展。2、证明了对公理方法本身的研究 能推动数学的发展，理性思维和对 严谨、逻辑和完美的追求，推动了 科学，从而推动了社会的发
12、展和进 步。在数学内部，各分支纷纷建立 了自己的公理体系，包括被公认为 最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系。实际上公理 化的研究又孕育了元数学的产生和 发展。3、非欧几何实际上预示了相对论的 产生，就象微积分预示了人造卫星 一样。非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件。人们都认 为是爱因斯坦创立了相对论，但是 ，也许爱因斯坦更清楚，是他和一 批数学家Poincare,Minkouski, Hilbert等共同的工作。出现动钟延 缓，动尺缩短，时空弯曲等现象。 这些都是非欧几何与相对论的科学 发现。非欧几何的模型。复变函数理论。非欧直线非欧距离、非欧角 、非欧圆、非欧三 角形.，非欧三角 形内角和小于180 度；不存在非欧矩 形。
