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1、定义义 1.2 总量函数 A(t)在时间t1 2 内的变化量 一般为增量 称为利息 记为 It1 2 t ,第一章 11第一章利息基本计计算所有金融活动的基础是投资收益和融资因此对不同投融资方式所带来的收益的定量刻画就构成了金融定量分析的主要内容表现和衡量收益的最直观最基本的概念是利息利息的原始定义很多主要源于从不同的角度看待利息从债权债务 关系的角度看利息是借贷关系中债务 人 borrower为取得资金使用权而支付给债权 人 lender 的报酬从借贷关系的角度看利息是一种补偿由借款人borrower支付给贷 款人lender因为前者占用和使用了后者的一部分资金从投资的角度看利息是一定量的资
2、本经过 一段时间 的投资后产生的价值增值1.1 利息基本函数在一般的金融活动中常见的模式是某一方投资一定量的货币原始投资本金于某个业务在没有新资本投入和抽取原始本金的假定下原始投资经过 一段时间 的运作将有所变化达到一个新的价值 如何从根本上描述这种变化过程呢这里有两个基本要素 原始投资和经过 的时间因此这个变化过程应该 表示为这 两个要素的函数为此引入如下的定义定义义 1.1 用A(t)表示原始投资 A 经过时间tt0事先给定时间 度量单位后的价值则称 A(t)为总总量函数 ( amount function),t则It1,t2 = A(t2) A(t1)interest(1.1.1)而且利
3、息总是在期末实现 的特别地当t1 = n1,t 2 =t1 +1时记In= A(n )A(n1)n1(1.1.2)1.1.1 累积积函数 accumulation function无论利息在理论上是如何定义的现实 生活中实际 投资的原始货币 量千差万别但是价值变其规律往往与本金投入的大小没有直接的关系为了更好地揭示这种变化化过程是带有根本性的过程考虑如下的定义定义义 1.3 称 1 个货币单 位的原始本金在时刻tt0 的累积值为 累积积函数 记为a (t)a (t)函数以上的定义说 明 货币 的时间 价值可以用一个标准的累积函数来表示 一般情况下具有以下的基本性质1a (0) = 1= t1,
4、t2第一章 22a (t)为递 增函数 如果该函数出现下降的趋势则说 明将产生负的利息 这一点在数学上并没有什么问题但在大多数金融问题 中它是没有意义的只有在投资本金不能收回的情形才会出现负的利息累积函数为常数表示无利息情形这种现象有时会发生为了表示货币 价值的相对变 化幅度 度量利息的常用方法是计算所谓的 利率interest rate它的准确定义为 利率等于一定的货币 量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息与期初货币 量的比值同时这个变化量或称利息是在期末实现 的简单 地说利率是利息与期初本金的比值 如果计息期为标 准的时间单 位 如 年 月 季或半年
5、等 常常简称为 实利率Effective Rate of Interest除特别说 明外实利率一般指年利率定义义 1.4 给定时间 区间t1,t2 内总量函数 A(t)的变化量 一般为增量 与期初货币 量的比值称为利率记为it1,t2则it1,t2=I A(t1)A(t2) A(t1) A(t1)(1.1.3)特别地当t1 = n1,t 2 =t1 +1时记=A(n) A(n1) A(n1)In A(n1)in =n11.1.4a或(1.1.4b)A(n) = A(n1)1+ inin 表示第n 个时段的实利率 具有以下基本性质1这里用实际这个词并不是很明确它是为了与后面的所谓名义利率相区别因
6、为前者表示在一定的时间 内的实际 利息收入的相对量2实利率通常用百分数表示3实利率的定义要求在计息期内没有其他资本的投入也没有原始本金的撤出即计息期内本金保持不变4在这里利息是在计息期期满时 支付的有a(n) a(n1)a(n1)结论结论 1.1 由利率地定义in =证证明假设初始投资为 A A(n) = A 那么(n)所以in =A(n) A(n1) A(n1)a(n)a(n1) a(n1)因此可以有实利率的另一种定义实利率为单 位本金在某个计息期内产生的利息与期初资本量的23第一章比值因此按照累积函数的不由结论 1.1 可以发现 利息或利率的计算最根本的是累积函数的计算同形式有以下两种常见
7、的利息计算方法例 1.1 考虑以下几类特殊的a (t)函数的特征 见图 1.11 常数 系列 12 二次 系列 23指数系列4线性系列 4图图 1.1 几类类特殊累计计函数的特征时间系列 系列 系列 系列1.1.2 单单利和复利1. 单单利simple interest定义义 1.5简单简单 利息simple interest或简称单单利它表示这样 一种累积计 算方式一个货币单位的投资经过 任何一个单位的计息期产生的利息为常数结论结论 1.2在单利情形下有a (t) = 1 + i t, t0 为整数(1.1.5)一般称i为单单利率证证明 由定义 1.5 知在单利情况下 若一个货币单 位的原始
8、本金在第一个计息期末的价值为 1+i因此累积函数为时间 的线性函数则在第二个计息期末的价值为 1+2ia (t) = 1 + i t, t依此类推0 为整数从实质 上看单利计算可以表述为利息与经过 的时间 成正比也可以用更严格的数学方法来定义单 利考虑满 足如下条件的a (t) 函数a ( s+t)=a ( s)a (t) 1 , t0, s0(1.1.6)这意味着经过时间t+s产生的利息等于经过时间t产生的利息与经过时间 s产生的利息之和3在a t （in) , t第一章 4一定的条件下可以证明1.1.5 与1.1.6 互相等价的单利情形的实利率是变化的 实际 上 如果设i为单 利率in 为
9、第n 个计息期的实利率 则有=i 1+ i(n1)a(n) a(n1) a(n1)in =, n1(1.1.7)它是n 的递减函数因此单利计算隐含着实际 利息收入比例是递减的即每个单位时间 内的相对货币 价值变 化量是逐渐下降的2. 复利这种计算模式的基本思想是 利息收入应该 自动地被再次记入下一期的本金 它是更为常见的计算利息的一种方法复合一词意味着将利息经过 再投资后再次产生新利息的过程对复利情形在投资期间的每个时刻过去所有的本金与利息的收入之和都将用于下一时刻的再投资就像常说的利滚利定义义 1.6复利计计算compound interest或简称复利 它表示这样 一种累积计 算方式一个货
10、币单 位的投资经过 任何一个单位的计息期产生的实利率为常数结论结论 1.3在复利情形下有a (t)=(1+i)t , t或a (t)=et ln(1+i) , t证证明 从定量刻画的角度看tn=1如果各个时间 段内的实利率相同0 为整数0首先对t为整数考虑如下的累积函数形式0 为整数即in =i, n1 为整数那么累积函数a (t)为a (t)=(1+i)t, t0 为整数对一般的tt0 为实 数复利计算意味着累积函数为指数函数形式a (t)=et ln(1+i) , t0可以证明在一定条件下指数函数是满足如下条件的唯一函数形式a ( s+t)=a ( s)a (t), t0, s0 为整数单
11、利计算与复利计算的区别1短期内两者差异不大2单利考虑绝对 增量的变化复利考虑相对增量的变化当货币 量的数额加大时两者的差异也会加大3复利几乎用于所有的金融业务单利只是用于短期计算或复利的不足期近似计算4第一章 5今后除特别声明一般考虑复利计算方式利率是为了表示利息或货币 随时间 投资的相对变 化率 承认存在利息也就承认货币 有时间性同样数量的货币 在不同的时刻有不同的价值从最简单 的项目看人们关心的是开始和结束这两个时刻前面介绍的累积函数和累积值 都是将本金单位化后计算货币 在结束时刻的价值下面将这个过程反过来计算例 1.2以年利率 5%为例比较单 利与复利计算方法的异同效果解 在第一年内 复
12、利累积小于单利累积 在第一年底 两者相同 从第二年开始 复利累积超而且前者的上升速度远远 超过后者具体计算如下过单 利累积计算1单利情形每年的实利率水平为in =i 1+ i(n1)5% 1+5%(n1),n =1,2,3,K列表nin15%24.76%34.55%44.35%54.17%64%这表明 6 年时间实 利率水平就会降低一个百分点2复利累积值 超过单 利累积值 3%的时刻n单利复利复利超过单 利的百分比%11.051.05021.101.10250.22731.151.1576250.66341.21.21551.2951.251.276282.161.31.340103.1复利方
13、式比相同单利方式超过 3%的累计值这表明经过 6 年时间1.1.3 贴现贴现定义义 1.7 时刻t的一个货币单 位在时刻 0 的价值称为贴现贴现 函数discount function用a 1(t) 表示一般为累积函数的倒数函数因此有a 1(t) = (1+ it)1a 1(t) = (1+ i)t(1.1.8)(1.1.9)单利情形其中i为单 利率复利情形其中i为实 利率从定义可以看出贴现 与累积是两种互相对称的计算货币时间 价值的方法5对于贴现计 算过程66第一章也有对应 的贴现变 化量的概念描述定 义义 1.8 一个计息期内的利息收入与期末货币 量的比值称为实实 贴贴 现现 率effec
14、tive rate ofdiscount这里的利息也是在期末实现 的具体计算可以考虑任何时间 段内的贴现 率d nIn A(n)a(n) a(n 1) a(n)=A(n) A(n1) A(n)d n =(1.1.10)在单利计算模式下还有如下特殊的单贴现单贴现 率d 的定义a 1(t) =1d t,0 t iB = 7.05%) =1.4106a (t) = exp( sds)第一章 92利用 1即可得m = p 时有)i(m) m(1+)= (1p3利用 2即可得id (m) mi(m) md (m) m(m)m=例 1.4现有以下两种 5 年期的投资选择 A 年利率 7% 每半年计息一次
15、B 年利率 7.05%每年计息一次比较两种选择 的收益解方法一比较等价的年实利率Ai(2) = 7%7% 2 2于是iA = (1+应选择 A方法二比较实际 收益7% 10 2aA(5) = (1+aB(5) = (1+7.05%)5 =1.4058 aA(5) aB(5)应选择 A1.1.5 连续连续 利息计计算这里我们考虑一种理想的情形 每个瞬间都可以进行利息的换算 例如 每小时换 算一次那么货币 的价值变 化就是非常频繁的随时都在改变当然这只是理想化的描述但是对此的研究将有助于我们对 一般离散情形的分析这种情况下定义的利率就是瞬间变 化率定义义 1.13 设累积函数a (t)为t的连续 可微函数时刻t的利息力force of interest定义为a (t) a(t)=A (t) A(t) t =(1.1.12)因此这时 的累积函数可以表示为t a(
