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1、20162016 年人教版数学必修一年人教版数学必修一 函数复习资料（家教）函数复习资料（家教）姓 名： 院 、 系： 数学学院数学学院 专 业: 数学与应用数学数学与应用数学 2015 年 12 月 2 日3 / 31人教人教 A A 版数学必修一版数学必修一函数部分复习函数部分复习函数的概念函数的概念 学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应 关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定 义域和值域. 知识要点： 1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集
2、合Af 中的任意一个数 ，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：xyf AB为从集合A到集合B的一个函数（function） ，记作=，其中，y( )f xxA x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain） ，与x的值对应的y值叫函 数值，函数值的集合叫值域（range）. ( )|f xxA 2. 设a、b是两个实数，且aa，xb，x1， 32 f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.3232321 25 25 2 【例 3】画出下列函数的图象： （1）； （教材P26 练习题 3）|2|yx （2）. |1|24|yxx解解：（1）由绝对值的概念，有.2,2|2|
3、2,2xxyxxx 所以，函数的图象如右图所示.|2|yx（2），33,1|1|24|5,2133,2xxyxxxxxx 所以，函数的图象如右图所示. |1|24|yxx 点评点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的 方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择 相应的解析式作出函数图象. 【例 4】函数的函数值表示不超过x的最大整数，例( ) f xx 如，当时，写出的解析式，并作出函数的图 3.54 2.12( 2.5,3x ( )f x 象. 解解：. 函数图象如右：3,2.52 2,21 1,10 ( )0, 01 1, 12 2, 23 3,3x x x
4、f xx x x x 点评点评：解题关键是理解符号的概念，抓住分段函数的对应函数式. m函数的表示法（习题）函数的表示法（习题）课时目标 1.掌握函数的三种表示方法解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中， 会根据不同的需要选择恰当方法表示函数函数的三种表示法 (1)解析法用_表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法用_表示两个变量之间的对应关系；9 / 31(3)列表法列出_来表示两个变量之间的对应关系一、选择题 1一个面积为 100 cm2的等腰梯形，上底长为 x cm，下底长为上底长的 3 倍，则把它 的高 y 表示成 x 的函数为( ) Ay50x(x0) By100x(x0)Cy(
5、x0) Dy(x0)50x100x 2一水池有 2 个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点， 该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点 到 6 点不进水不出水则正确论断的个数是( ) A0 B1 C2 D33如果 f( )，则当 x0 时，f(x)等于( )1xx1xA. B.1x1x1C. D. 111x1x 4已知 f(x)2x3，g(x2)f(x)，则 g(x)等于( ) A2x1 B2x1 C2x3 D2x75若 g(x)12x，fg(x)，则 f( )的值为(
6、)1x2x212 A1 B15 C4 D306在函数 y|x|(x1,1)的图象上有一点 P(t，|t|)，此函数与 x 轴、直线 x1 及 xt 围成图形(如图阴影部分)的面积为 S，则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )10 / 31题 号123456 答 案 二、填空题 7一个弹簧不挂物体时长 12 cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量 成正比例如果挂上 3 kg 物体后弹簧总长是 13.5 cm，则弹簧总长 y(cm)与所挂物体质 量 x(kg)之间的函数关系式为 _ _8已知函数 yf(x)满足 f(x)2f( )x，则 f(x)的解析式为_1x 9已知 f(x)是
7、一次函数，若 f(f(x)4x8，则 f(x)的解析式为_ 三、解答题 10已知二次函数 f(x)满足 f(0)f(4)，且 f(x)0 的两根平方和为 10，图象过(0,3)点， 求 f(x)的解析式 11画出函数 f(x)x22x3 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小； (2)若 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是_ (3)如果函数 yf(x)在区间 D 上是_或_，那么就说函数 yf(x)在这一区 间具有_，区间 D 叫做 yf(x)的_ 2a0 时，二次函数 yax2的单调增区间为_ 3k0 时，ykxb 在 R 上是_
8、函数4函数 y 的单调递减区间为_1x一、选择题16 / 311定义在 R 上的函数 yf(x1)的图象如右图所示 给出如下命题： f(0)1； f(1)1； 若 x0，则 f(x)0，其中正确的是( ) A B C D 2若(a，b)是函数 yf(x)的单调增区间，x1，x2(a，b)，且 x1f(x2) D以上都可能 3f(x)在区间a，b上单调，且 f(a)f(b)0fx1fx2x1x2 B(x1x2)f(x1)f(x2)0 Cf(a)0x1x2fx1fx26函数 y的单调递减区间为( )x22x3A(，3 B(，1 C1，) D3，1题 号123456 答 案 二、填空题 7设函数 f
9、(x)是 R 上的减函数，若 f(m1)f(2m1)，则实数 m 的取值范围是 _ 8函数 f(x)2x2mx3，当 x2，)时是增函数，当 x(，2时是减函数， 则 f(1)_. 三、解答题 9画出函数 yx22|x|3 的图象，并指出函数的单调区间17 / 3110已知 f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且 a0 时，00，则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值作比变形 与 1 比较判断” 函数最大（小）值 学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小） 值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求 函数的最大（小）值.
10、 知识要点： 1. 定义最大值：设函数的定义域为I I，如果存在实数M满足：对于( )yf x 任意的xI I，都有M；存在x0I I，使得 = M. 那么，称M是函数( )f x0()f x 的最大值（Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值( )yf x （Minimum Value）的定义. 2. 配方法：研究二次函数的最大（小）值，先配方成2(0)yaxbxc a后，当时，函数取最小值为；当时，函2 24()24bacbya xaa0a 24 4acb a0a 数取最大值.24 4acb a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函 数的
11、单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小 值. 例题精讲：【例 1】求函数的最大值.26 1yxx解解：配方为，由，得. 26 13()24y x 2133()244x 260813()24x 所以函数的最大值为 8. 【例 2】某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可 售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种 商品每件提价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才 能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润. 解解：设他将售出价定
12、为x元，则提高了元，减少了件，所(10)x 10 (10)x A 赚得的利润为19 / 31.(8) 10010 (10)yxxAA即. 当时，.2210280160010(14)360yxxx 14x max360y 所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润 为 360 元. 【例 3】求函数的最小值.21yxx解解：此函数的定义域为，且函数在定义域上是增函数，1,所以当时，函数的最小值为 2.1x min21 12y点评点评：形如的函数最大值或最小值，可以用单调yaxbcxd 性法研究，也可以用换元法研究. 【另解】令，则，所以1xt0t 21xt，在时是增函数，当时，22115222()48yttt 0t 0t min2y故函数的最小值为 2.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1）； （2）.25 332, 2 2yxxx |1|2|yxx解解：（1）二次函数的对称轴为，即.232yxx2bxa 1x 画出函数的图象，由图可知，当时，； 当时，1x max4y3 2x . min9 4y 所以函数的最大值为 4,最小值为.25 332, 2 2yxxx 9 4（2）.3 (2) |1|2|21 ( 12) 3 (1)x yxxxx x 作出函数的图象，由图可知，. 所以函数的最大值为 3, 最小值为- 3,3y
