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1、教 教 课程解读 2 0 1 2年 5月 使用向量方法来解决几何问题的一般解题顺序 甘肃省古浪县第五中学 鲁国柱 笔者通过 以下三个方面来说 明向量法的有效运用 一、显 现 出问题 的 内在 在数学习题中， 部分解析几何问题运用解析法来解， 不能将 例题中存在的问题所有的内在本质显现出来，从而导致学生思 路不明确 、 过程也过于复杂 但是向量法的使用， 就能够将问题 一般化 ， 就能很 容易地显露 出内在本质规律 例 1 已知四边形 中的一组对边 的平方和等于 另外 一组对 边的平方和， 试证： 四边形的两条对角线相互垂直 证法1 ： 在冈1 中。 通过直角坐标系的建立 ， 分别在坐标系上 设
2、 出4、 B、 C、 D四个点 根 据题 意我们可 以知道 ： f A D l 2+f B C J l A B l z+l D C 所 以得 0 ( 一 e ) + ( c d ) + 6 ：( b 一 ) + c + d + e 上式可以化简为： a e + c d = a b ， 也可以化简成： c d = a ( b - e ) ( 1 ) c( 图 1 假设a 和b e 都不等于0 ， ( 1 ) 式两边同时除以一 a ( b - e ) ， 那么： 一 = 一 1 ， 所以得出 B D “ k 一 1 ， 就能证明例子中的两对 6一 e 一 口 角线垂 直 汪法1 过程过于烦琐 证法
3、2： 使用向量法进行求证 假设以0 为起点 ， A、 B、 C、 D四个点分别为终点的向量分别 为口、 b、 c 、 l l z +l l z ：l I z + J ，即 ( ) z + ( c ) z = ( 口) + ( c d) 从而得 到： a d+b c=n b+c d ， 也就是 ( c 吲 ) ( ) = 0 ， 从而可知 J _ 面 运用向量法，能够快捷地解决问题，还能发现逆命题也为 真 ， 也就显示 出了向量法能够抓住问题的内在本质 二 、 解 决三 点共 线 的问题 两个非零 向量n 、 西 共线 的充要条 件是有且仅有一个 实数A ， 曩 _ 意 糍 1 o 誓 中 毒
4、： ?高 中 版 使 西 ： A 口 ， 当 两 个 向 量 同 向 的 时 候 ， A ： I f ， 当 两 个 向 量 反 向 的 时 候 ， A ： 一 1 b 1 运 用 此 结 论 能 解 决 三 点 共 线 的 相 关 问 题 例2 设抛物线 = 2 p ( 其中p 0 ) 的焦点为F ， 通过点P 怍一 直线与抛物线相交于A、 B 两点 ，而点 c 在抛物线的准线之上 ， 并 且B C 平行 于 轴 ， 试证明 ： 直线A C 经过坐标 系的原点O 设点A为 y ： 为 y - 为 p y F 为 ( 等， o 1 由 、 、 F 三 点 共 线 ， 得 存 在 A R ， =
5、 a F- -3 “ ， 也 可 以 换 化 成 ， )= (荔 一 1) 故i旦 _ 芸 一 l - y ，： A y 2 消去A 可以得 lJ y ,y z = 、c 、 D 三 点 共 线 铮 存 在 一 R ， 使 耐铮 ( 一 鲁，y ) = (芸 ， 号 ， I Yl 所以， 直线A C 经过坐标原点D 三 、 处理 夹角 问题 两个非零向量口 = 【 Y ) 、 西 = ( Y ： )的夹角为 ， 西 =l l J 西l c o s O - x 向量积的有效利用 ， 能有效解决夹角问题 例 3椭 圆 等 + 4 1 的 焦 点 为 、 ， 已 知 在 椭 圆 上 有 一 点 P ， 当 碾钝角时， 试求出点JD 白 勺 横坐标的取值范围 解： 由已经条件知 ( 一 了 ， 0 ) 、 ( 、 厂 ， 0 ) ， 设点P ( ， y ) 由 眠 为钝角，可以得出 可 ( 卅、 了 ) ( 一 、 了 ) + ， ， y = xZ-5+ 0 将 _ 4 一 4 代入上面的式子，可 得 一 去 ， 所 以 P 的横坐标的取值范围则是一 一 、 5 、 5 总之， 在数学教学中， 向量法的使用大大减轻了学生学习的 负担笔者在文章中简要地从三个方面提出了向量法的具体使 用， 希望能够对学生 的学习起到一定的帮助作 用一
