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1、 随风潜入夜 润物细无声(续 )李尚志中国科学技术大学 数学实验: 几何变换 (x,y) (x,y) x=f1(x,y), y=f2(x,y) 曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C：x=f1(x(t),y(t), . y=f2(x(t),y(t) 2018/7/20线性变换 x=a1x+b1y, y=a2x+b2y. 画出由平面直线段或曲线段组成 的图形C及其象C。 观察：直线、平行、垂直、长度 、角度、圆 ?2018/7/20线性变换前后的图形2018/7/20向量方向的变化2018/7/20选取特征向量为基2018/7/20矩阵的相似对角化 AX1=aX1, AX2=bX2, AX
2、3=cX3 A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) AP=PD, P-1AP = D A 相似于对角形 D . 2018/7/20矩阵乘积的行列式 几何观点 矩阵A决定线性变换f: XAX 所有图形的n维体积变为原来的 detA倍. g:YBY. n维体积 detB倍. gf: X(BA)X, n维体积 原来的det(BA)倍 = (detB)(detA) 倍. 2018/7/20代数证明 BAB, det(AB)= a detB 情况1. A是初等矩阵: A:互换两行, a= -1=det A A:某行乘l倍, a=l=d
3、et A A:某行的l倍加到另一行, a=1=detA 情况2. A不可逆: detA=0, AB不可逆, det(AB)=0=(detA)(detB). 2018/7/20代数证明 情况3. A可逆. A= PsP2P1 , 其中 Ps , , P2, P1是初 等矩阵 det(AB)=det PsdetP2 detP1 detB (1) 取 B=I 得 detA = det PsdetP2 detP1 代入(1) 得 det(AB) = (detA)(detB)2018/7/20多元微积分的线性代数模型 微积分基本思想 : 非线性线性 复合函数的导数:2018/7/20 隐函数存在定理 F
4、(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 线性化: y=f(x) 在 x0 可微, 导数为 2018/7/20 可微函数 n 个方程 =0 , 线性化即 当 det B 时有唯一解隐映射定理2018/7/20电子琴为什么能模拟 不同乐器的声音 不同乐器的声音区别 音色。 y= A sin(kt). k音调,A响度 ， ？音色 sin(x)+sin(3x)/3+ 的图象 y=a1sin(wt+b1)+a2sin(2wt+b2)+ 音色 波形 系数 a1 , a2 , . . .比例2018/7/20sin x+sin(3x)/3+sin(nx)/n2018/7/
5、20网上资源http:/ 精品课程国家级数学实验 (2003),线性代数(数学专业)(2004) http:/ 常用连接 网上数学实验参考文献 线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会, 中国大学教学, 2006年第7期 线性代数精彩应用案例(之一),大学数学, 2006年第3期 线性代数精彩应用案例(之二),大学数学, 2006年第4期 若当标准形的计算, 大学数学, 2006年第5期 从问题出发引入线性代数概念, 高等数学研究, 2006年第5期,第6期精品课程为谁建设- 学生! 建设精品课程时不知道教 育部要评精品课! 教数学,教学生 懂
6、数学,懂学生精品课程的关键 特色 影响 多媒体教学:1.发挥多媒体优势2.不为多媒体而多媒体数学建模主要思想实际问题 -建模 数学模型i求解 实际解 检验- 数学解 用建模思想建设线性代数精品课程将数学建模思想引入基础 课程教学（一）利用基础课知识建立模型 解决问题: (1)来自现实生活的实际问 题 (2)数学自身发展提出的问 题将数学建模思想引入基础 课程教学（二）从问题出发建立数学模型解决“发明”出基础课程的知识 -人类的旧知识,学生的新知 识用建模思想建设线性代数 精品课程1.随风潜入夜:建立模型解决问题 线性代数知识2.润物细无声：线性代数知识 建立模型解决问题 若干问题之1 1.适用
7、对象:针对不同对象的共同点! 数学专业,非数学专业. 好学生,“差”学生. 针对不同对象的不同点: 要求不同. 好学生需要生动,难道差学生只能枯燥? 2.改革: 让学生更容易. 老师需要重新学习,开头难,适应之后容 易. 帮好学生求发展, 学创造发明 帮“差”学生求生存,学懂最基本内容. 2018/7/20若干问题之2 3.改革有风险:学郭靖,不学慕容复. 知风险, : 从问题出发: 可能费课时,冲淡主题. 从本专业应用问题开始：可能狭窄,难懂 . 防风险: 中庸之道,适可而止,因人而易. 4.几何比代数更难? 几何直观不好算，代数好算不直观。 凌波微步，左右逢源2018/7/20若干问题之3 5.数学味 = 严格? 数学:创新,抽象,严谨 思想重于材料 想法指挥算法。 严格性例子: 秩的定义的合理性-工笔画 不严格例子: n 维体积-写意画. 先粗后细. (不能先错后对).2018/7/20数学聊斋四则之一 峨嵋山的佛光数学聊斋四则之二 指鹿为马之幼儿版博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位)原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错最接近的合法码数学聊斋四则之三 人与照片之维数之四 飞檐走壁之电影 实现谢谢 ！
