《与分段函数有关的问题及求解方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与分段函数有关的问题及求解方法（2页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复 习指津 Z H o N G X U E J l A o X U E C A N K A o 与分段 函数有 关的 问题 及 求解 方法 河 北秦 皇 岛市 第一 中学 ( O 6 6 O 0 O ) 耿 雪静 分段函数作为一类重要的函数模型 ， 凭借其 可 以作 为 考 查 学 生 能 力 的知 识 载 体 ， 在 各 级 各 类 考 试 ， 尤其是会考 、 高考 中， 已 日益 彰显 其受青 睐的程 度 然 而与分 段 函数 有 关 的 问题 及 解 法 ， 无 论 是 新 教 材 ， 还是 旧教材 ， 都仅在例题或习题 中出现 了由分段 函数作出其图象 ， 或写 出其函数解 析式 等问
2、题 ， 而对 于其具体 的概念和相关 的性质等未加 以论述 因此 ， 学生对这类问题了解不多 ， 普遍感觉熟练掌握这类 问 题有困难 本文仅就中学数学中涉及的与分段函数有 关 的问题 及其 解法 归 纳如 下 ， 供 参考 需要 注 意 的是 ： 分 段 函数是 指 在定 义 域 的不 同取 值 区间 内 ， 函数 的对 应 法 则 不 同 但 分 段 函数 仍 然 是 一个 函数 ， 而不是多个函数的合成 ， 因此 ， 分段函数的 定义域是各段函数表达式 自变量取值范围的并集 ； 分 段函数的值域是各段 函数表达式取值范围的并集 ； 分 段 函数 的图象 应在 同一 个坐标 系 内作 出 另
3、 外分 段 函 数 的给 出方式 多 种 多样 ， 如 直 接 给 出分 段 函数 、 以 带 绝对值 的形 式 间接 给 出 、 或 以文 字叙 述 等 其他 形 式 给 出， 具体问题需要同学们认真辨别 1 求分 段函数 的解析 式 【 例 1 】 已知 函数 一厂 ( z ) 的图象 由射 线 B A、 C D和 线 段 B C组成 ( 如图 1 ) ， 试 求 函数 一厂 ( ) 的解析式 y C 0 4 图 1 分析 ： 由图可知 是关于 的一次或常数分段函数 ， f 是 l +6 1 ( 一 1 ) ； 故可设厂 ( ) 一 2 ( 一1 1 ) 将点( 一1 ， 2 ) ， (
4、一2 ， O ) 代入 ， 再将点( 1 ， 2 ) ， ( 4 ， 0 ) 代入可得 f 2 +4 ( z 1 ) ； 厂 ( ) 一 j 2 ( 一 1 总结 ： 求分段 函数解析式时 ， 常根据 已知条件 ， 将 定 义域 化分 成若 干 个小 区域 ， 分 别求 出 函数 在各 个 区 域 上 的解析 式 ， 然后 用分 段 的形 式写 出来 2 求分段 函数 的函数 值 f z+ 3 ( z 一 1 )； 【 例 2 】已 知 厂 ( ) 一 -z 。 ( 一 1 0时 ， ( z ) 一 ， 一 0 ， - 厂 ( 一 ) 一 一 一( r ) 一 一 一 一厂 ( ) ； 当 一
5、0时 ， -厂 ( 一 0 ) 一_厂 ( 0 ) 一O 所 以对 于任 意 R恒 有 ( 一 ) 一一 _厂 ( ) ， 故 ( ) 为 奇 函数 总结 ： ( 1 ) 用定 义来判 断分段 函数 的奇 偶性 ， 必 须 对 自变量 在不同区域上的取值分别讨论 ， 但要注意 相应 表 达 式 的 改 变 ， 从 而 比较 厂 ( 一 ) 与 厂( z ) 的关 系 ， 得 出结论 ( 2 ) 还 可用 图 象法 来 判断 分 段 函数 的 奇偶 性 ， 若 函数 图象 关 于 y轴 ( 原 点 ) 对 称 ， 则 该 函数 是 偶 ( 奇 ) 函数 7 判断分 段 函数 的单调性 【 例 7
6、 】 判断例 6中函数的单调性 分 析 ： 作 出分段 函数 厂 ( ) 的 图象 ， 如 图 3 所 示 ， y 一 、 。 行分类 ， 按 函数单 调性 的定 义来 判断 8 求分段 函数 的反 函数 【 例 8 】 求 分 段 函 数 c 一 三 的 反 函数 分析 ： 由 + 2 ( z 0 ) 可 得 z一 一 1 + 二 F 歹 且 o ， 此时的反函数是 一一1 +、 干 ( z O ) ； 由 一一z 。 +2 z( 0 ) 可得 z一1 一 、 且 o ， 此时的反函数是 一1 一 1 + ( 0 ) 故所 求 的反 函数 为 厂 一 ( ) 一J 一 + + z o ； 【
7、 1 一、 二 ( o ) 总结 ： 求 分段 函数 的 反 函数 ， 需 根 据 相 应 的 函数 式分别求反函数 分段函数的反函数也必是一个分段 函数 9 分 段 函数 的连 续 性 问题 【 侈 lJ 9 】 设 ) 一 ( ， 怎 样 选 择 实 数 【 z 、 U J ， n时 ， 函数 -厂 ( ) 是 连续 的? 分析 ： 厂 ( ) 一 ( a + ) 一 、 一-厂 ( )一 e 一 = 1 又 -厂 ( o ) 一a ， 故 当 n ：1时 ， 厂 ( ) 一厂 ( o ) ， 上 式 就说 明 了 ， ( z ) 在 O处 连续 而 在 O的其 他 任何 值 ， 厂( z
8、 ) 显 然 连 续 由此 ， 当 n = = = 1时 ， _厂 ( ) 在 ( C 。 ， +。 。 ) 是连续 的 1 0 求分段 函数 的导数 f 1 ( -丁 0)； 【 例 1 0 】 已知函数 _厂 ( ) 一 1 一 ( o 1 ) ； 求 l l ( 1 ) ， 函数 - ， 、 ( ) 的导数 分析 ： 当 z 0时 ， -厂 ( ) 一 1 ， 厂 ( ) 一0 ； 当 o 1时 ， 厂 ( ) =1 ， _厂 ( ) 一 一2 ；当 1时 ， -厂 ( ) 一 z 一1 -厂 ( z ) 一1 ， 故 ( z ) 一 一2 -丁 ( 0 1 ) ； f O ( O)； l 1 ( z 1 ) 网 总结： 求分段 函数 的导数， 要根据相应 的函数分 显 然， 当 ( 一 一， 一 寺 和 专， +。 。 ) 时， 总 之， 要掌握分 段函 数， 首先要打破 分段函 数的 c 单 调 递 减 ， 当 专 ， 时 c 单 调 递 增 茧 誊 ： 鬈 震 萎 雾 I
