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1、- 1 -九年级数学竞赛专题九年级数学竞赛专题 第一讲第一讲 因式分解因式分解一、选择题一、选择题 1下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ）A(2a+3)()2a-3)=4a -9; B4m -9=(2m+3)(2m-3)22Cm -16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz 3y 3z22下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A-7ab 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); B)3(33111xyyxyxyxnmnmnmC6; Dxy(x y ) x (y x ) = x (x y )(y 1 ) 133)(2
2、)(2)(2babaabba3下面各式的因式分解中，正确的是（ ）A)444221)(221 ()(81223bababababaB)2)(2(4)(222222222xyyxxyyxyxyxC22) 1(4448aaaD)()()()(22babayxxybyxa4下面各式的因式分解中，正确的是（ ） Aab a + b + 1 = (a 1)(b + 1)B4xy + 1 4)21)(21 (22yxyxyxC3a 3b + 3x bx = (a b )(3 x )D)21)(21 (41422yxyxyxxy5下列因式分解的变形中，正确的是（ ）A)(1() 1(22axxaxaxB)
3、13)(12(61 652mmmmC)()(2222222byaybaybayD) 1)(4)(2)(1(8)3(2)3(222xxxxxxxx二、填空题二、填空题 1 在 代 数 式164) 3( ,)2( , 144) 1 (2222nnmnmxx- 2 -中 是 完 全 平 方 式 的 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。2若：被 2x 3 除后余 3，则商式是_，且 a = _。922 axx3 在 一 个 边 长 1 2.7 5 平 厘 米 的 正 方 形 内 挖 去 一 个- 3 -边 长 为 7.2 5 厘 米 的 正 方 形， 则 剩 下 的 面 积 就 是 _ _
4、_ _ _ _ _ _ _ _ _ 。4乘积=_。)1011)(911 ()311)(211 (22225 已 知 一 个 正 六 位 数， 前- 4 -三 位 数 字 与 后 三 位 数 字 完 全 相 同， 那 么 这 个 六 位 数 一 定 能 被 质 数 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 整 除。三、解答题三、解答题 1分解因式; ; 42(1)23xx42(2)29xx22(3)(1)(1)4abab- 5 -; ;2(4)23xxyxy2222(5)(1)(1)aaaa; ;3(6)()2(1) 1mnmnmn22(7)(1)(2) 12aaaa432(8)1256895
5、612xxxx2已知三角形的三条边 a,b,c 适合等式：，请确定三角形的形状。abccba33333已知：三个连续奇数，它们的平方和为 251，求这三个奇数。- 6 -4已知：2x 3 和 3x + 1 是 f(x) = 的因式，求 a,b 的值。153223xbxax5证明：（1）若 n 为整数，则一定是 8 的倍数；22) 12() 12(nn（2）若 n 为正整数时，- n 的值必是 6 的倍数；3n（3）四个连续自然数的积加 1 必为一完全平方数。答案答案 一、选择题一、选择题 1B 2C 3D 4D 5C 提示： 1 - 7 -依 据 因 式 分 解 的 定 义： 将 一 个 多
6、项 式 分 解 成 几 个 整 式 乘 积 的 形 式 称 为 分 解 因 式。 只 有 选 项 B 正 确， 其 中 选 项- 8 -A 、 D 均 为 整 式 乘 法。2 按 照 提 取 公 因 式 的 方 式 分 解 因 式， 同 时 注 意 分 解 因 式 后 的 结 果， 一 般 而 言 每 个- 9 -因 式 中 第 一 项 的 系 数 为 正、 只 有 选 项 C 正 确。3 利 用 公 式 法 进 行 因 式 分 解， 同 时 注 意 分 解 因 式 后 的 最 后- 10 -结 果 必 须 分 解 彻 底， 只 有 选 项 D 正 确， 选 项 B 因 式 分 解 的 结 果
7、 并 不 彻 底。4利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项 D 正确。 5 利 用 十 字 相 乘 法 进 行 因 式- 11 -分 解， 同 时 注 意 因 式 分 解 是 恒 等 变 形， 只 有 选 项 C 正 确， 选 项 B 非 恒 等 变 形。二、填空题：二、填空题： 11； 2X+4.5； 3110 平方厘米；4；201157、11、13 提示： 1若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。2) 12(x2根据题意，利用大除法：- 12 -2) 3(32) 3( 3) 3(9) 3(32923222axaxaxaxxaxxx a
8、 = 532)3(39a，即：商式为 x + 4，且 a = 5.42)3(xax3依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为 7.25 平方厘米，利用平方275.12差公式：乘下的面积就是 12.75 - 7.25 =(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110 平方厘米224原式222222222210110 919 414 313 212201110119 9108 453 342 211222225依题意，设所求的站位数为：，a,b,c 均为自然数，则abcabcabcabccbacba10101010102345)10100(1001) 110)(1010()
9、1010()1010(1032223cbacbacbacba1001=71113， a,b,c 为自然数， 100a + 10b + c 为自然数7abcabcabcabcabcabc|13,|11,|三、解答题三、解答题 1分解因式：（1）十字相乘法：原式) 1)(1)(3(2xxx（2）配方法：原式=)32)(32(22xxxx（3）配方法：- 13 -原式abbaba412222)1)(1 ()()1 ()2()21 (222222baabbaabbaababbaabba（4）原式=yxyxx322)3)(1() 1() 1)(3( yxxxyxx（5）法 1：原式=23422212aa
10、aaaa222222223234234) 1() 1() 1() 1(11232aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa法 2：原式=2222)(12aaaaa22222) 1()()(21aaaaaaa（6）法 1：原式=1222)23(223223mnnmmnnmnnmm) 1)(1() 1() 1() 1() 1() 1(1122222222232233223nmnmnmnmnmnnmmmnnnmmnmnnnmmnmmnmnnmnmmmnnmnnmm法 2：原式=)1 (21)(33nmmnnm) 1)(1() 1(2 1)()(1(222nmnmnmnmmnnmnmnm（7）原式=
11、122)(3)(222aaaa) 1)(2)(5()2)(5(222aaaaaaaa- 14 -（8）反数法：原式=)(5689) 1(12324xxxx)23)(32)(12)(2()6136)(252(13)1(65)1(265)1(56)1(12)1(568924)1(12)1(5689)1(12222222222 222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2解，依题意：而abccba3333abccba3333abccba33330)()(3)()(3)(3)(33)(3)(222223332322bcacabcbacbacbaabccbabacbaabccbaa
12、bbaabccabbabaabccbababaa,b,c 为三角形的三边长 a + b + c 00)()()(022202222220222222222222222cbcabacbcbcacabababcacabcbabcacabcba0)( , 0)( , 0)(222cbcaba只有0)( , 0)( , 0)(222cbcabaa = b = c，即三角形为等边三角形注：也可如下分解：abccba3333原式=abcabbacbabbaa333332233223)()(3)(22233abbcaccbacbacbaabcba- 15 -3解：设这三个奇数依次为 n 2 , n , n
13、+ 2，其中 n 为自然数，则 n 2，则依题意：(n - 2) + n + (n+2) = 251 3n =243 n =8122222 n = 9 或-9 当 n = 9 时，n 2 = 7, n + 2 = 11; 当 n = - 9 时,n 2 = - 11, n + 2 = -7. 所以，这三个连续奇数为 7、9、11；或 7、-9、-114解：若(2x 3 )和(3x + 1)都是 f(x) = ax +bx +32x + 15 的因式，22则(2x 3 )(3x + 1 ) = 6x -7x 3 能整除 f(x)。2解法 1： 利用多项式与多项式的大除法：56015353015)232()7(275323762223232xaxxxaxbabxaxbaaxxbxaxxx,35232307a bab且a = 6 且 b = - 37即： )5)(13)(32(153237)(23xxxxxbxxf解法 2：)(13)(32()(nmxxxxf15323)73()76(6)(376(23232xbxaxnxnmxmnmxnmxxx nnmmnbbma315)73(3276n =
