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1、 (了解空间向量的概念/掌握空间向量的线性运算/掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直)7.6 空间向量及其运算1空间向量的概念：在空间，我们们把具有大小和方向的量叫做向量(1)空间间的一个 就是一个向量(2)向量一般用有向线线段表示同向等长长的有向线线段表示 的向量(3)空间间的两个向量可用 的两条有向线线段来表示2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样样，空间间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下： ab； 同一或相等同一平面内平移3运算律：(1)加法交换律：ab .(2)加法结合律：(ab)c (3)数乘分配律：(ab) .4共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(
2、b0), ab的充要条件是存在实 数，使 .5共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 .baa(bc)aba bpxayb6空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对对空间间任一向量p，存在一个唯一的有序实实数组组x，y，z，使 .7空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a，b，在空间间任取一点O，作 ，则则AOB叫做向量a与b的夹夹角，记记作a，b；且规规定0a，b，显显然有a，bb，a；若a，b ，则则称a与b ，记记作：ab.8向量的模：设 a，则则有向线线段 的 叫做向量a的长长度或模，记记作：|a|.pxaybzc互相垂直
3、长度9向量的数量积：已知向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的 ，记作ab，即ab|a|b|cosa，b10空间向量数量积的性质(1)ae|a|cosa，e；(2)abab0；(3)|a|2aa.11空间向量数量积运算律(1)(a)b(ab) ；(2)ab (交换律)；(3)a(bc) (分配律)数量积a(b)baabac1已知向量a平面，向量a所在直线为线为 a，则则( )Aa Ba Ca交于一点 Da或a答案：D2如图图，在四面体PABC中，G为为ABC的重心，且 ，则则 _.(用a，b，c表示)答案： (abc)3已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)若(ab
4、)c，则则x_.解析：ab(2,1,3x)，(ab)c0，2x2(3x)0，从而x4.答案：44如图图，在四面体OABC中， a， b， c，D为为BC的中点，E为为 AD的中点，则则 _.(用a，b，c表示)解析：答案：计计算平行六面体体对对角线线的长长度与求异面直线线上两点间间的距离实实质质上是同一问题问题 利用向量法求平行六面体的体对对角线长线长 与几何法相比有着非常明显显的优势优势 【例1】 已知在一个60的二面角的棱上，如右图，有两 个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm， BD8 cm则CD的长为_解析： ，则6242822
5、68cos 12068.| |2 (cm)答案：2 cm变式1.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量 两两的夹夹角均为为60，且| |1， 则则 等于( )A5 B6 C4 D8解析： ，12223212233125.则 5.答案：A利用共面向量定理可解决四点共面和直线线与平面平行等问题问题 【例2】 如右图，已知平行六面体ABCDABCD，E、F、G、H分别别是棱AD、DC、CC和AB的中点，求证证E、F、G、H四点共面证明:取 则则 与b、c共面.即E、F、G、H四点共面.变式2.如右图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、 N分别别是AB、PC的中点，求证证：MN平面PAD.证明
6、:设设 ,则 与b、c向量共面，即MN平面PAD.利用平行向量的充要条件可解决三点共线线和直线线与直线线平行等问题问题 【例3】 如右图，在棱长为长为 a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为为BC1D的重心，(1)试证试证 A1、G、C三点共线线；(2)试证试证 A1C平面BC1D；(3)求点C到平面BC1D的距离解答：(1)证明： 可以证证明： 即A1、G、C三点共线线(2)证证明：设设 则则|a|b|c|a，且abbcca0， abc， ca， (abc)(ca)c2a20， ，同理可证证： ，因此A1C平面BC1D.(3) abc， a2b2c23a2，即| | a，因此 .即C到平
7、面BC1D的距离为 a.1利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题2利用共面向量定理，可解决立体几何中，直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题3要注意空间向量基底的选取，同时要重视空间向量基本定理的使用，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程4通过向量的内积运算，可证明垂直问题，可计算直线与平面所成角，异面直线所成角以及距离等问题. 【方法规律】 (本题满分12分)已知如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CDC1CBBCD60(1)求证：C1CBD；(2)当 的值是多少时，能使A1C平面C1BD？
8、请给出证明.解答：(1)证明：连结连结 A1C1、AC；AC交BD于O，连连C1O，四边边形ABCD为为菱形，ACBD，DOBO，又BCC1DCC1，CC1CC1，C1BCC1DC，C1BC1D，DOBO，C1OBD，又ACBD，所以BD平面AC1，又CC1平面AC1.CC1BD.(2)由(1)知：BD平面AC1，因为为A1C平面AC1，所以BDA1C，当 1时时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理：BC1A1C.又BDBC1B，A1C平面C1BD. 【答题模板】 解法二：(1)证证明：取由已知|a|b|，且a，bb，cc，a60，BDCDCBab，C1CBc(ab)cacb|c|a|c|b
9、|0， ，C1CBD.(2)若A1C平面C1BD，则则A1CC1D，CA1abc，C1Dac.CA1C1D0，即(abc)(ac)0.整理得：3a2|a|c|2c20，(3|a|2|c|)(|a|c|)0，|a|c|0，即|a|c|.即当1时时，A1C平面C1BD. 向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要. 【分析点评】 点击此处进入 作业手册
