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1、金融风险和金融数学史树中 北京大学金融数学与金融工程研究中心 北京大学光华管理学院金融系*1什么是风险和什么是金融风险 ？ 风险是可能发生的危险。 风险不确定性。 金融风险就是金融中可能发生的危险。 换句话说，就是可能发生的钱财损失。 金融风险金融中的不确定性。 金融风险包括市场风险，信用风险、流 动性风险，营运风险等等。Date2金融工程课件什么是金融经济学和金融数学 ？ 金融经济学与其他经济学科的主要区别 就在于市场环境的不确定性。 金融经济学主要研究不确定性市场环境 下的金融商品的定价理论。 金融数学就是金融商品定价的数学理论 。 因此，也可以说，金融经济学以至金融 数学都是研究金融风险
2、的理论。Date3金融工程课件研究不确定性的数学概率论 直到现在为止，研究不确定性的最主要 的数学学科是概率论 (其他还有：模糊数 学、混沌理论、集值分析、微分包含等) 。 概率论几乎可以说是起源于研究“金融风 险”的。那是一种简单的“金融风险”问题 ：赌博。Date4金融工程课件概率论的早期历史 Blaise Pascal (1623-1662)Pierre de Fermat (1601-1665)1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率 论的基础。他们当时考 虑一个掷骰子问题，开 始形成数学期望的概念 ，并以“输赢的钱的数学 期望”来为赌博“定价”。Date5金
3、融工程课件Pascal Fermat 问题 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷 满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无 意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. 结论：应该用数学期望来定价。Date6金融工程课件概率论的早期历史 (续)Jacob Bernoulli (1654 -1705)1713 年发表猜 度术 (Ars Conjectandi)。 这是当时最重要 、最有原创性的 概率论著作。由 此引起所谓“圣彼 德堡悖论”问题。Date7金融工程课件“圣彼德堡悖论”问题 有这样一场赌博：第一次赢
4、得 1 元，第 一次输第二次赢得 2 元，前两次输第三 次赢得 4 元，一般情形为前 n 次输 ，第 n+1 次赢得 元。问：应先付多少 钱，才能使这场赌博是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷 ！Date8金融工程课件“圣彼德堡悖论” 1738 年发表对机遇 性赌博的分析提出 解决“圣彼德堡悖论 ”的“风险度量新理 论”。指出用“钱的 数学期望”来作为决 策函数不妥。应该用 “钱的函数的数学期 望”。Daniel Bernoulli （1700-1782)Date9金融工程课件期望效用函数1944 年在巨著 对策论与经济 行为中用数学 公理化方法提出 期望效用函数。 这是经济学中
5、首 次严格定义风险 。John von Neumann (1903-1957)Oskar Morgenstern (1902-1977)Date10金融工程课件用期望效用函数来刻划风险 所谓期望效用函数是定义在一个随机变 量集合上的函数，它在一个随机变量上 的取值等于它作为数值函数在该随机变 量上取值的数学期望。用它来判断有风 险的利益，那就是比较“钱的函数的数学 期望”。 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函 数值为 u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y).Date11金融工程课件有风险与无风险之间的比较机会 (x
6、,y,p) 与肯定得到 px+(1-p)y 之 间的利益比较就是比较u(x,y,p)=pu(x)+(1-p)u(y) 与 u(px+(1-p)y) 之间的大小。如果它们相等，表示对风 险中性 (不在乎)；一般取 表示对风险爱好。Date12金融工程课件Arrow-Pratt 风险厌恶度量这就归结 为函数 u 的凸 性的比较。它 的程度可用 -u/u 来度量 。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出 。Date13金融工程课件期望效用函数的争论 期望效用函数似乎是相当 人为、相当主观的概念。 一开始就受到许多批评。 其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953
7、)。 由此引起许多非期望效用 函数的研究，涉及许多古 怪的数学。但都不很成功 。Maurice Allais (1911- ) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。Date14金融工程课件Knight 的 风险、不确定性与利润(1921) Knight 不承认“风险=不确定性 ”，提出“风险”是有概率分布 的随机性，而“不确定性”是不 可能有概率分布的随机性。 Knight 的观点并未被普遍接受 。但是这一观点成为研究方法 上的区别。Frank Hyneman Knight (1885- 1972) Date15金融工程课件Arrow-Debreu 的不确定状态 1954 年 Arrow 和 D
8、ebreu 发表一般 经济均衡的严格数 学公理化证明。 他们在处理不确定 性时采用Knight 的 观点。光有状态， 没有概率。Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年诺贝尔经 济学奖获得者Gerard Debreu (1921-) 1983年诺贝尔经 济奖获得者Date16金融工程课件Arrow (1953) 证券价值对于 风险的最优配置的作用Arrow 的 文章被认为是 第一篇用数学 模型论证证券 如何分散金融 风险的研究论 文。Date17金融工程课件“华尔街的革命”Date18金融工程课件在华尔街发生的两次革命已经开创 了在金融界需要研究型的数学家的专长。 第一次革
9、命是对股权基金管理的诀窍引进 数量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文证券组合选 择。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请 教了Robert Merton)发表对期权定价问题 的解答。Black-Scholes 公式给金融行业 带来了现代鞅和随机分析的方法；这种方 法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生证 券”进行生产、定价和套期保值。Date19金融工程课件1990 年诺贝尔经济奖获得者Harry Markowitz, (1927-) 证券组合 选择理论Merton Miller, (19
10、23-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)William Sharpe, (1934-) 资本资产定价模 型（CAPM)Date20金融工程课件1997 年诺贝尔经济奖获得者Fisher Black (1938-1995)期权定价公式 1973 年 Black-Scholes-Merton 期权定价理论问世Robert Merton, (1944 -)连续时间 金融学Myron Scholes, (1941 -) 期权定价公 式Date21金融工程课件Markowitz 证券组合选择问题 一个投资者同时在许多种证券上投资，那么应 该如何选择各种证券的投资比例，使得投
11、资收 益最大，风险最小。 Markowitz 把证券的收益率看作一个随机变量 ，而收益定义为这个随机变量的数学期望，风 险则定义为这个随机变量的标准差。 如果把各证券的投资比例看作变量，问题就归 结为怎样使证券组合的收益最大、风险最小的 数学规划。Date22金融工程课件Markowitz 问题的数学形式Date23金融工程课件Markowit的基本结论 对每一固定收益都求出其最小风险，那么在风 险收益平面上，就可画出一条曲线，它称为 组合前沿。 在证券允许卖空的条件下，组合前沿是一条双 曲线的一支；在证券不允许卖空的条件下，组 合前沿是若干段双曲线段的拼接。 组合前沿的上半部称为有效前沿。对
12、于有效前 沿上的证券组合来说，不存在收益和风险两方 面都优于它的证券组合。Date24金融工程课件风险收益图 和 有效前沿风险收益Date25金融工程课件风险收益图 和 有效前沿Date26金融工程课件沪深两市的风险收益图Date27金融工程课件Markowitz 的基本思想 风险在某种意义下是可以度量的。 各种风险有可能互相抑制，或者说可能 “对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放 在一个篮子里”，而要“分散化”。 在某种“最优投资”的意义下，收益大 意味着要承担的风险也更大。Date28金融工程课件互相关的概念Date29金融工程课件关于我国股市的互相关Date30金融工程课件Tobin 的二基
13、金分离定理 由于 Markowitz 问题是线 性问题，因而两个有不同 收益的解的线性组合就可 生成整个组合前沿。 这两个特殊的组合可以看 成“基金”。这个结果称为 二基金分离定理。它是 Tobin (1958) 首先提出的 。James Tobin, (1918-) 1981 年诺贝尔经济 学奖获得者Date31金融工程课件资本资产定价模型 (CAPM)Sharpe (1964) 和另一些经济学家 ，则进一步在一般经济均衡的框架下， 假定所有投资者都以 Markowitz 的准则 来决策，而导出全市场的证券组合是有 效的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing
14、Model, CAPM) 。这一模型认为，每种证券的收益率都 只与市场收益率和无风险收益率有关。Date32金融工程课件资本资产定价模型 (CAPM)无风险收益率证券收益率市场收益率E : 平均值 (数学期望)Cov: 协方差；Var: 方差Date33金融工程课件各种证券的风险收益图Date34金融工程课件无套利假设Miller 与 Modigliani (1958)的 M-M 定理不但为 公司理财这门新学科奠定了 基础，并且首次在文献中明 确提出无套利假设。所谓无 套利假设是指在一个完善的 金融市场中，不存在套利机 会 (即确定的低买高卖之类 的机会)。Franco Modigliani,
15、 (1918-) 1985 年诺贝 尔经济奖获得者Date35金融工程课件无套利假设和 B-S 期权定价理论 以无套利假设作为出发点的一大成就也 就是 Black-Scholes 期权定价理论。 期权是指以某固定的执行价格在一定的 期限内买入某种股票的权利。期权在它 被执行时，如果股票的市价高于期权规 定的执行价格，那么期权的价格就是市 价与执行价格之差；反之，期权是无用 的，其价格为零。 现在要问，期权未到期时的价值。Date36金融工程课件为解决这一问题，Black 和 Scholes 先把模型连续动态化。他们假定模型中 有两种证券，一种是债券，它是无风险 证券，其收益率是常数；另一种是股
16、票 ，它是风险证券，沿用 Markowitz 的传 统，它也可用证券收益率的期望和方差 来刻划，但是动态化以后，其价格的变 化满足一个随机微分方程，其含义是随 时间变化的随机收益率，其期望值和方 差都与时间间隔成正比。这种随机微分 方程称为几何布朗运动。Date37金融工程课件然后，利用每一时刻都可通过股票 和期权的适当组合对冲风险，使得该组 合变成无风险证券，从而就可得到期权 价格与股票价格之间的一个偏微分方程 ，其中的参数是时间、期权的执行价格 、债券的利率和股票价格的“波动率”。 出人意料的是这一方程居然还有显式解 。于是 Black-Scholes 期权定价公式就这 样问世了。Date38金融工程课件Black-Scholes 期权定价公式Date39金融工程课件Black-Scholes 期权定价
