《4.2线性变换的矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.2线性变换的矩阵（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高高 等等 代代 数数一、一、线性变换在基下的矩阵线性变换在基下的矩阵二、相似矩阵二、相似矩阵高高 等等 代代 数数一、一、 线性变换线性变换在基下的矩阵基下的矩阵的线线性变换变换 . 则对则对 任意 存在唯一的一组组数设 是线性空间V的一组基， 为V使从而，由此知， 由 完全确定.一组基在 下的象即可.所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的高高 等等 代代 数数命题4.2.1设 是线性空间V的一组基， 为为V的线性变换，若 则 由已知，即得由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.证：对 高高 等等 代代 数数证： 定义 都存在线性变换 使 任意n个向量命题4.2.2 设
2、是线性空间V的一组基，对V中易知 为V的一个变换，下证它是线性的.任取 设高高 等等 代代 数数则 于是 为V的线性变换.又高高 等等 代代 数数设 为数域P上线性空间V的一组基， 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设定义定义4.2.14.2.1用矩阵表示即为 高高 等等 代代 数数其中 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 矩阵A称为线性变换 在基 下的矩阵. A的第i列是 在基 下的坐标，注：注：它是唯一的. 故 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 高高 等等 代代 数数例1. 设线设线 性空
3、间间 的线线性变换变换 为为 求 在标准基 下的矩阵. 解： 高高 等等 代代 数数线性变换运算与矩阵运算线性变换运算与矩阵运算定理定理4.2.4.2.2 2 设 为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与 中 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.高高 等等 代代 数数证：设 为两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别为A、B，即 在基 下的矩阵为AB. 高高 等等 代代 数数 在基 下的矩阵为AB. 在基 下的矩阵为高高
4、 等等 代代 数数 由于单位变换(恒等变换) 对应于单位矩阵E. 相对应.所以，与 ABBAE因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且逆变换 对应于逆矩阵 （推论4.2.1）高高 等等 代代 数数定理4.2.3 设线性变换 在基 下的矩阵为A,在基 下的坐标为 在基 下的坐标为 则有 高高 等等 代代 数数证：由已知有 高高 等等 代代 数数又 由于 线性无关，所以高高 等等 代代 数数下的矩阵分别为A、B，且从基() 到基()的过渡矩阵矩阵是X，则()()定理4.2.4 设线性空间V的线性变换 在两组基 高高 等等 代代 数数证：由已知，有 于是， 由此即得 高高 等等 代代 数数相似矩阵相
5、似矩阵定义定义4.2.44.2.4设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 使得 则称矩阵A相似于B，记为 高高 等等 代代 数数（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： 反身性： 对称性：2 2基本性质基本性质 传递性：高高 等等 代代 数数定理定理4.2.64.2.6 线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵. 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证 ： 设 且A是线性变换 在基 下的矩阵. 显然， 也是一组基，矩阵就是B.且 在这组基下的高高 等等 代代 数数例. 设 为线性空间V一组基， 线性变换 在这组基下的矩阵为 为V的另一组基，且 求 在 下的矩阵B.高高 等等 代代 数数解：（1）由定理4， 在基 下的矩阵高高 等等 代代 数数例 . 在线性空间 中，线性变换 定义如下： （1）求 在标准基 下的矩阵.（2）求 在 下的矩阵.高高 等等 代代 数数解：（1）由已知，有设 在标准基 下的矩阵为A，即高高 等等 代代 数数因而，高高 等等 代代 数数（2）设 在 下的矩阵为B，则A与B相似，且
