3 概率论与可靠度

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1、 三、概率论与可靠度3.1 概率论 3.1.1.基本概念 v概率论:是一门研究随机事件集体规律的数 学. v随机事件：在一次试验中,可能发生,也可能 不发生的事件.v随机变量：取值具有随机性的变量为随机 变量. 随机变量分为:离散型随机变量和连续型 随机变量.组限 (N/mm2)组中平 均值 (N/mm2)频数 mi累计 频数频率 fi=mi/n累计 频率频率 密度 (mi/n)357.5 367.5 367.5 377.5 377.5 387.5 387.5 397.5 397.5 407.5 407.5 417.5 417.5 427.5 427.5 437.5 437.5 447.5 4

2、47.5 457.5362.5372.5382.5392.5402.5412.5422.5432.5442.5452.515752703854082601506317215903607451153141315631626164316450.00910.04560.16410.23400.24800.15810.09120.03830.01030.00120.00910.05470.21880.45280.70880.85890.95010.98840.99871.00000.000910.004560.016410.023400.024800.015810.009120.003830.0010

3、30.00012 1645根16mMn钢筋的强度试验资料:频率密度直方图的特点: 随机事件 遵循 一定的分布规律 随机事件 经特定的数据处理方法 分布规律 相关概念: 组距(D)、频数(m)、频率(m/n)、频 率密度( f ) 频率密度( f )-组距为1时的频率，故也称其 为频率 v矩形的高为频率密度( f ); 矩形的面积为:落在该矩 形所对应组距内的频率。所有矩形面积的总和等 于频率( f )的总和，即等于1。 v频率密度的分布以平均值为中心,两端大体呈对称 分布. v中间高两端低，频率和频数不小于零。 此单峰曲线有一个最高点，以此点的横坐标为中心， 对称的向两边单调下降，在最高点两侧

4、各一倍标准差 处曲线上有一个拐点，然后各以横坐标为渐进线趋向 于正负无穷大。具有此特点的曲线称为状态分布曲线 。 频率密度直方图频率密度分布曲线 频率密度直方图下的面积（频率密度分布曲线下的面 积）概率 概率的计算：用积分方法求概率分布曲线下的面积。3.1.2 正态分布 1) 状态分布曲线的数学表达式即概率 密度函数:式中：正态分布的均值，即曲线 峰 值处的横坐标； 正态分布的标准差，即曲 线拐点到峰值点之间的水平距离。2)正态分布的性质及标准状态分布 （1）影响曲线形状的因素：和如图6所示。 （2）不同相同时，曲线如图7所示。正态分 布曲线的位置由确定。 3）相同不同时，曲线如图8所示。 v

5、值越大则数据越分散，曲线就越扁平； v值越小则数据越集中，曲线越高窄。 v =0，=1时为标准正态态分布，如图9所示。3.2 结构的可靠度 当结构的抗力为 R ，作用效应为 S 时 则功能函数 Z R S,可判断结构所处的状态 结构可靠度指结构在规定的时间内，在规定的条件下完 成预定功能的概率。 一般用 Ps 表示可靠概率 ； Ps P (Z0) 一般用 Pf 表示失效概率； Pf P (Z0) 可靠概率与失效概率的关系: Ps Pf 1 S和R的一般概率密度函数fS（）和fR（）以及联合 概率密度函数fRS（r，s） 对于任意无穷小的元素（x，s），当x 和s 趋近于0时， fRS（r，s）

6、代表R 在x和（x x ） 之间取值及S在s和（ss ）之间取值的概率。 失效概率变为： 当R和S独立时， fRS（r，s） fS（ s ）fR（ r ） 对于任何随机变量 X，只要 x y，累积分布函数Fx（x）由 下式给出： 当R和S独立时，表达式按下面的形式重写：结构可靠度指标 当结构的抗力为 R ，作用效应为 S 时，则功能函数 为Z R S。3.2.1 作为结构的可靠指标的原因 1 是失效概率和可靠概率的度量， 与 Pf 或 Pr 具有一一对应 的数量关系， 越大，则失效概率 Pf 越小（即阴影面积越小 ），可靠概率越大。 2 功能函数的概率密度函数为 fZ（ z ） ，平均值为 m

7、Z，标准 差为Z。在横坐标轴 z上，从坐标原点（z0，失效点）到密 度函数曲线的平均值 mZ 处的距离为Z ，若如Z 大，则阴影 部分的面积小，失效概率 Pf 小，结构可靠度大；反之Z 小 ，阴影部分面积大，失效概率Pf 大，结构可靠度小。 3 对于不同的正态分布设分布函数为Fi（X) 只要各自均值i 和标准差 i 的比值i 相等，那么 F i（ i i i） F i （0），即Pf 就相等。 对于某些非正态分布，如对数正态分布、极值 型分布等， 若服从同一分布类型的不同随机变量各自的均值 i 和标准差 i 的比值 i 相等，则其分布函数F i （ i i i） F i （0），即Pf同样也相

8、等 不过，此时F i （0） 就不能理解为Pf ，因为 i 与 i 的意义有所不同。 4 功能函数为某一概率密度函数 fZ（ z ）时，由 mZ Z 。可知，当Z常量时，只随平均值mZ 而变。而当 增 加时，会使概率密度曲线由于mZ 的增加而向右移动，即 Pf 将变小，结构可靠概率增大。3.2.2 可靠度指标的两个常用公式 当R和S都服从正态分布，其平均值和标准差分别为R、S 和R、S ，则功能函数ZR S也服从正态分布，这个公 式是美国的Cornel于1967年最先提出来的，它是结构可靠 度分析中一个最基本的公式因为抗力和荷载效应大多趋向于偏态分布，按正态分布计算将产生较 大的误差，因此，R

9、osenblueth和Estera等学者建议采用R 和S 的对数正 态分布模型。 当 R 和 S 都服从对数正态分布，其平均值和标准差分别为lnR、lnS和 lnR、lnS ，则功能函数 ZlnR lnS 也服从对数正态分布。3.2.3可靠指标的几何解释情形1：两个正态变量R和S的标准差相等 在直角坐标系ROS中，失效边界线是一条直线，如果把 作为一个单位来 测量，则可以证明平均值点（mR ，mS ）到失效边界上的最短距离就是 值。 在对 值作出几何解释时，除了应了解失效边界以及由其分隔出来的失效 区和可靠区外，还必须注意两个点M和P*。M由R和S的平均值确定； P*是 与设计规定值对应的点，

10、它位于失效边界上，是与结构最大可能失效概率 对应的点，通常被称为设计验算点，用作校核。 情形2：两个正态变量R和S的标准差不相等 在此情形下，需要建立新的坐标系。新坐标系是按如下方式 建立的：首先在ROS中进行平移，原点由O点移到O （M点 处）然后通过数学变换，使R 和S 都变成一个单位量。 最后由情形1可知，在新坐标系 ROS 中的原点到失效边界 上的最短距离OP*就是值， 可见可靠指标是新坐标系原 点O到失效边界的最短距离。 情形3：多个正态变量且标准差不相等 当极限状态方程中包含多个正态分布随机变量时，根据由两个 随机变量情形得出的定义， 此时求可靠指标即为求一新坐标 体系中由原点到极

11、限状态曲面的法线距离。类似于两个正态变 量的情况这时可靠指标是新的空间坐标系中原点O到极限 状态曲面的最短距离。图中表示三个正态变量的情况。3.3 可靠度指标与分项系数的关系 现以正态分布的随机变量为例说明分项系数的确定方法。 设荷载效应R和结构抗力S均服从正态分布，其均值、标准差 、变异系数分别为R、R 、R和S、S 、S 。 我们通常要求出现的事件结果不大于或不小于某一数值，这 个数值就称为特征值。 结构可靠度也就是计算超过特征值的概率超越概率，确 定这一特征值就可以用数理统计方法计算出来如图10所示， 具体公式为：式中，fk特征值；在特征值取值的保证率下所对应的系数 。保证率对应的可靠概

12、率1 84.13%1.645 95%2 97.72%3 99.865% 功能函数Z RS也服从正态分布，其均值、标准差和 变异系数为Z、Z 、Z 。 由可靠指标的计算公式 设抗力的标准值 R k为 荷载效应的标准值 S k为 此处的结构抗力标准值和荷载效应标准值，均为随机 变量对应于某一超越概率的特征值式中 R结构抗力分项系数；S 荷载效应分项系数。 考虑到建筑物破坏后果（危及人的生命、造成经济损失、产 生的社会影响等）的严重性，根据建筑物的安全等级或设计 工作寿命，采用第三个分项系数称为结构重要性系数。 应用时将荷载效应分项系数S再乘以结构重要性系数。 规范规定的结构重要性系数的取值方法为：

13、对安全等级为一 级或设计使用年限为100年及以上的结构构件，不应小于1.1 ；对安全等级为二级或设计使用年限为50年的结构构件，不 应小于1.0；对安全等级为三级或设计使用年限为5年及以下 的结构构件，不应小于0.9；在抗震设计中，不考虑结构构件 的重要性系数3.4 作用的性质与取值标准 3.4.1. 作用的性质及分类： 作用：是指使结构产生内力、变形或应力、应变的所 有原因。 v 按作用方式分：直接作用（也称为荷载）间接作用（如地震、基础沉降、混凝土收缩、温度变 化、焊接变形等）。v 按随时间的变异性可分：永久作用（如结构自重、土压力、预应力）可变作用（楼面活荷、吊车、风荷载、雪荷载）偶然作

14、用（地震、爆炸、撞击） v 按结构的作用反应可分:静荷载(自重、活荷载)动荷载(振动荷载、地震荷载、风荷载)荷载类型荷载取值标准表达式永久荷载标准值 取平均值 可 变 荷 载标准值特征值(90%)取最大值为特征值公称值依经验给出组合值频遇值准永久值 3.4.2 荷载的取值标准 v荷载取值标准汇总表: 表23.4.3 材料取值标准 1.材料强度的标准值混凝土材料强度标准值取具 有不小于95%的保证率的特征值，可由下式确定：式中， 材料强度的平均值；材料强度的标准差；材料强度的变异系数。 钢筋的强度标准值根据全国主要钢厂的统计，各种级 别热轧钢筋的强度标准值大体接近于相应的部颁屈服 强度废品限值，即它的保证率为97.75%。专题报告题目 改进的一次二阶矩法方法 JC法由拉克维茨等和菲斯莱（Rackwitz Fiessler）、哈索佛儿和林德（HasoferN.C. Lind）等人先后提出，JCSS委员会推荐 蒙特卡罗递进法 实用分析法由1972年帕洛黑姆（Eero Paloheimo）和汉纳斯（Matti Hannus）提出 的“加权分位值法”，后由1984年大连理工大的 赵国藩改进后的。专题报告写作要求： 1 发展过程按时间先国外后国内 2 例题解答 3 计算程序 5 交文字和软盘（邮件 ）