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1、插值函数的应用第 5 章插值函数的应用插值方法是一种重要的函数逼近方法，它在数值微积分和常微分方程数值解中有重要应用由 Newton-Leibniz公式，连续函数 在 上的定积分其中是的原函数。5.1.1 数值求积公式及其代数精度无能为力。l 不能用初等函数表示，即 找不到原函数；，l 没有解析表达式，用表格方式给给出时时；l 大多数的无穷积分，除特殊的无穷积分外。 N-L公式已经但是大多数实际问题，常常遇到的困难是：l 虽然找到 的原函数，但是太复杂杂上述的积分就只能利用数值积分公式进行近似计算。（5-1）设 是定义在 上的可积函数，考虑带权积 分 在 上非负可积，且至多有有限个零点。其中权
2、函数所谓数值求积就是用本节只讨论的情形。近似计算 的值。 （5-2）数值求积公式公式（5-2）称为数值求积公式，是与 无关的常数，称为求积系数，其中上的点 称为为求积节点。 求 积 系 数求积节点大家熟知第一积分中值定理：但是 具体位置未知。其几何意义为：数值积分公式产生的背景矩形 的面积积=曲边梯形 的面积。我们可以采用不同近似方法得到下述数值求积公式：称为左矩形数值求积公式；称为右矩形数值求积公式 ；称为中矩形数值求积公式；称为梯形数值求积公式。 （称为步长），将分点取为插值节点（也是求积节点），得到的数值求积公式称为插值型求积公式。本节采用的逼近函数是 在等距节点上的插值多项式，进行等分
3、，令将则 可表示为它的Lagrange插值多项式及其余项之和，即 （5-3）所以称为 点的Newton-Cotes公式，其中求积 系这样得到的插值型求积公式(5-6)（5-4）(5-5)求积余项(5-7)标志着求积公式的误差大小。时的三个公式， 在Newton-Cotes公式中，最常用的是(5-8)此时这就是梯形求积公式：即梯形求积公式此时这称为Simpson求积公式：(5-9)进一步可得 Cotes公式(5-10)Simpson求积公式Cotes求积公式练习题用梯形求积公式和Simpson求积公式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：练习题用梯形求积公式和Simpson求积公
4、式计算积分解：由梯形求积公式：由Simpson求积公式：如果某个数值求积公式对比较多的函数 能准确成立，即那么这个公式的使用价值就较大，可以说这个公式 的精度较高为衡量数值求积公式的精度，引进代数精度的概念。如果某个数值求积公式，对于任何次数不超过 次的代数多项式都是精确成立的但对于次代数多项式不一定能准确成立， 即则称该求积公式具有次代数精度 定义5.1次代数精度的充要条件是它对 显然，一个数值求积公式具有这是确定代数精度的最常用方法。都能准确成立，但对不能准确成立。下面求梯形数值求积公式和Simpson数值求积公式的代数精度。，我们可得对于故梯形数值求积公式具有1次代数精度。, 我们可得对
5、于 故Simposon数值求积公式具有3次代数精度。而一般的n+1点Newton-Cotes公式的求积余项，有如下定理： 当然也可以通过求积余项估计, 得到代数精度以下先推导几个求积余项，进而指出n+1点Newton-Cotes公式的代数精度。定理5.1 若其中是奇数，且;若，则其中 定理5.1 是偶数，且，则当 为偶数时，由于对 次多项式 所以由上述定理可知，点的Newton-Cotes公式的代数精度为梯形公式、Simpson公式及Cotes公式的代数精度分别为1，3，5.当 为奇数时， 点的Newton-Cotes公式的代数精度为本节讨论在大区间上，对于数值积分使用低阶Newton-Cot
6、es5.1.2 复化求积公式公式的分段解决办法。将 等分成若干个小区间，在每个小区间上用点数少的Newton-Cotes公式，然后再对所有子区间求和。这样得到的数值求积公式称为复化Newton-Cotes公式.将区间 进行 等分，如果在每个子区间上用梯形求积公式，即每个子区间的长度则由此可得复化梯形公式 同理可得复化Simpson公式(5-14） （5-13）复化梯形公式复化Simpson公式练习题解： 由复化梯形求积公式：由复化Simpson求积公式：用 复化梯形、复化Simpson求积公式计算积分本节介绍具有最高代数精度的数值求积公式，即Gauss型求积插值型求积公式（并未要求取等距节点）
7、的代数精度至少为5.2 Gauss型求积公式公式。(5-32)形如，则可两点的求积公式为：两点的Newton-Cotes求积公式是等距节点的梯形公式：其代数精度为1。 若不限制等距节点，我们特意的去选取 由代数精度的的定义，分别取令可得到如下非线性方程组：即至少具有3次代数精度，又取时，。 故具有3次代数精度。这样如果我们用代数精度最高原则，通过求解 阶非线性方程组来确定所有和共个待定系数， 就可以构造出具有次代数精度 的数值积分公式。 如果形如（5-32）的求积公式具有代数精度次，则称其为Gauss型求积公式，并称其中的求积节点为为Gauss点. 定义 5.2定理5.2 要使插值型求积公式5
8、.2.1 Gauss型求积公式与所有次数不超过的多项式在上关于权函数正交。 要使插值型求积公式 定理 5.2（5-33）具有 次代数精度，必须且只须以节点为零点的次多项式定理 5.2 换句话为：是Gauss点是正交多项式 。 是Gauss点是正交多项式的根。 例1求 上关于的 两点Gauss型求积公式。构造二次正交多项式 ，令 此时，得或 取，由代数精度的定义，得线性方程组则得具有3次代数精度的Gauss-Legendre公式： 则有 ，这样。对于任意区间 上权函数 的Gauss型求积公式，只需作变量替换：例，构造求解的具有3次代数精度的数值积分公式。，此求积公式具有2个Gauss节点。，则取
9、Gauss节点、求积系数：从而，得解：由作变量替换：若取则具有3次代数精度公式为：例2，确定使以下的求积公式为Gauss型求积公式解：首先构造上关于的首项系数为1的二次正交多项式，为此可设 ，从而有，。则其零点为：令，用代数精度定义得：从而。 5.3 外推加速与Romberg算法 5.3.1 逐次分半法可以推出以复合梯形公式为例。和的如下关系（逐次分半法）其中复化梯形公式 每个小区间上积分余项停止准则：因此即类似地因此可以将作为迭代停止标准另外，还可以推出5.3.2 外推加速与Romberg算法将复化梯形公式写成上面已经推出，是积分的更好近似。类似可以推出是越来越好的近似。一般地，有如下Rom
10、berg方法：可以记成当时停止 例. 用Romberg方法求，误差不大于解.由于停止运算.取真值为第六章 数值积分6.2. 广义积分6.2.1 无界函数积分设在上连续,在 附近无界.计算1) 区间迭代法令是一个收敛于的点列,例如依次计算可以在时停止.每一个可以用(例如)Romberg 方法计算2) 区间截断如果能够推出则可以用近似替代 例. 计算其中并且解. 因为在上,因此要求误差不大于可以取3)变量替换例如, 计算其中做变量替换,则化成正常积分4) Gauss求积公式使其具有次代数精度.例. 求,其中而在附近无界.希望选取使其对精确成立.以 为例. 求解下列方程组解之,可得6.4 矩形域上二
11、重积分6.4.1 插值型求积公式 考虑二重积分利用梯形公式,有可以进一步取求积节点得到复化梯形公式其中系数排成如下矩阵6.4.2 Gauss求积公式其中系数和节点由一维Gauss 求积公式给出,使得求积公式对所有如下的二元多项式精确成立:二维Gauss 求积公式系数与节点表Gauss点 系数10 22130.55555555560.888888888940.34785484510.65214515490.86113631160.33998104366.5. 计算重积分的Monte-Carlo方法适用于高维和任意区域. 以一维为例. 在 上随机选取个点M-C方法:令取为均匀分布的密度函数,则由大数定律计算二重积分其中是任意二维可测区域,是的面积,是随机(伪随机)节点,是结点个数.还可以对区域中不同的部分根据的不同取值情况按不同的密度取随机节点.
