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1、一、二重积分的变量变 换公式二、二重积分的极坐标变 换 三、二重积分的广义极坐 标变换 二重积分是定积分在 平面上的推广,不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算,而二重 积分定义在平面区域上, 其 面积的计算要复杂得多. 4 二重积分的变量变换 数学分析 第二十一章 重积分*点击以上标题可直接前往对应内容数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社在定积分的计算中, 我们得到了如下结论:在区间 上连续, 当 从变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 连续可导, 当(即)时, 记 则 写成4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变
2、换标变换 二重积分的变量变换公式则设设利用这这些记记号, 公式(1)又可数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社当(即 )时, (1)式可写成 故当为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统统一写成如下的形式:下面要把公式(4)推广到二重积积分的场场合. 为为此先给给 出下面的引理.4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社引理 设变换 将 uv 平面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 , 映成 xy 平面上的闭区域 D. 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 则则区域 D 的面
3、积积 (5)4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 一对对一地在函数 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社证 下面给出当 在 内具有二阶连续偏导数 时的证明. ( 注: 对具有一阶连续偏导数条件 下的一般证证明, 将在本章9 中给给出. ) 由于 T 是一对一变换, 且因而 T 把 的 内点变为 D 的内点, 也变换为 D 的按段光滑边界曲线 . 设曲线的参数方程为由于按段光滑, 因此在 上至多除 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 的按段光滑边界曲线所以去有限个第一类间类间
4、断点外, 在其他的点上都连续连续 . 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社又因所以 的参数方程为若规定 从 变到 时, 对应于 的正向, 林公式, 取 有 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 则则根据格另一方面, 在 uv 平面 上 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社其中正号及负号分别由 从 变到 时, 是对应于 的正方向或负方向所决定. 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 由(6)及(7)式得到令在uv平 面上对对上式应应用格林公式, 得到 数学分析 第二十一
5、章 重积积分 高等教育出版社由于函数 具有二阶连续偏导数, 因此 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 又因为 总是非负的, 而 在 上不为零且 连续, 故其函数值在 上不变号, 于是 即有 所以数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社定理21.13一阶连续阶连续 偏导导数且它们们的函数行列式 则则有4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 设 在有界闭区域 D 上可积, 变换换 将 uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 在内分别具有
6、函数数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社其中则则作二重积分的积分和加强条件下, 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 证 用曲线网把 分成 n 个小区域在变换 T 作用 下, 区域 D 也相应地被分成 n 个小区域记及 的面积为及在对对 y 的 令由引理及二重积积分中值值定理, 有 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社这个和式是可积积函数 的分割 的细度 时, 相应分割 的细度 也趋于零. 因此得到 在 上的积分和. 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 又由变换 T
7、 的连续性可知, 当 D 的 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社例1 求其中 D是由解 为为了简简化被积积函数, 令所围围的区域(图图21-23). 即作变换 它的函数行列式为为 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社在 T 的作用下, 区域 D 的 如图 21-24 所示. 原象 所以 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社例2 求抛物线和直线所围区域 D 的面积解 D 的面积为了化
8、简积分区域, 作 变换变换 它把 xy 平面上的区域 D 对应对应 到 uv 平面上的矩形 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社由于 因此 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社例3 设上可积,是由曲线 所围围成的区域在第一象限中的部分. 证证明: 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 证 令 则 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版
9、社因此 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社当积积分区域是圆圆域或圆圆域的一部分, 或者被积积函数 的形式为时, (8)往往能达到简简化积积分区域或被积积函数的目的. 此时时, 变换变换 T 的函数行列式为为 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 二重积分的极坐标变换 采用极坐标变换标变换数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社容易知道, 极坐标变换 T 把平面上的矩形 但此对应不是一对一的, 于平面上两条直线段 CD 和 EF (下
10、图). 变换成 xy 平面上的圆域与平面上直线 相对应应,4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 例如 x y 平面上原点 x 轴轴上线线段 对应对应图 21-26数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社定理21.14设满足定理21.13 的条件, 且在极坐标变换 (8)下, 平面上的有界闭域 D 与平面上区域 对应, 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 又当 时时, 因此不满满足定理21.13 的条件. 但是仍然有下面的结论结论 . 则则成立数学分析 第二十一章 重积积分 高等教
11、育出版社证 若 为 的扇形 后所得的区域 (图图21- 26(a),设 除去中心角 则则在变换 (8) 下, 对应于又因在 上 于是由定理 21.13, 有 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 因 在 D 上有界, 故可设 于是由( 图 21-26 (b) ). 与之间是一一对应的且数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社同理又有 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 即得(9)式: 所以,对对 (10) 式取极限数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社若 D 是一般的有界
12、闭域, 则取足够大的 使 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 在 中函数 F 至多在有限条按段光滑曲线上间间断,上定义函数 并且在 因此由前述得到 其中 为平面上矩形区域 由函数 的定义, (9) 式对一般的 D 也成立. 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社由定理21.14 看到, 用极坐标变换计标变换计 算二重积积分时时, 除变量作相应的替换外, 成下面介绍绍二重积积分在极坐标标系下如何化为为累次积积分 来计计算. 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 换 还须还须 把“
13、面积积微元” 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 1. 常用的是将 分解为 平面中的型区域. (i) 若原点 则 型区域必可表示成(图21- 27) 于是有 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社于是有 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 (ii) 若原点为为 D 的内点(图图21-28(a), 标标方程为 则 一般可表示成 D 的边边界的极坐数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社(iii) 若原点在 D 的边边界上 (图
14、21-28(b), 于是有 2. 也可将 分解为平面中的 型区域(图21-29). (1) 令4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 则为则为 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社(2) 作半径为 的圆穿过 D, 按逆时针方 向首先由边边界曲线线 穿入 , 穿出. 4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 而后由边边界曲线线 则则有数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社例4 对积分 作极坐标变换, 并表示为 不同次序的累次积积分, 其中 ( 见图见图 21-30 (a) )解 经过极坐标变换后, 可分解为二个 型区域:4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社又可分解为四个 型区域 ( 见图见图 21-30 (b) ):4 二重积积分的变变量变换变换 变变量变换变换公式极坐标变换标变换 广义义极坐标变换标变换 (b)数学分析 第二十一章 重积积分 高等教育出版社于是
