第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计

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1、第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计 7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 IIR数字滤波器的设计方法是利用模拟滤波器成熟的理论进行设计的，因而保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性。但设计中只考虑了幅度特性，没考虑相位特性。为了得到线性相位特性

2、，对IIR滤波器必须另外增加相位校正网络，使滤波器设计变得复杂，成本也高，又难以得到严格的线性相位特性。 有限脉冲响应(FIR)滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。 用N表示FIR滤波器单位脉冲响应h(n)的长度，其系统函数H(z)为第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计H(z)是z1的N1次多项式，它在z平面上有N1个零点，在原点z=0处有一个N1重极点。因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位特性是FIR滤波器 最突出的优点。 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大差别。FIR滤波器设计任务是选择有限长度的h

3、(n)，使频率响应函数H(ej)满足技术指标要求。本章主要介绍三种设计方法：窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1 线性相位FIR数字滤波器对于长度为N的h(n)，频率响应函数为式中，Hg()称为幅度特性; ()称为相位特性。注 意，这里Hg()不同于|H(ej)|，Hg()为的实函数可能取负值，而|H(ej)|总是正值。线性相位FIR滤波器是指()是的线性函数，即（7.1.1 ）（7.1.2 ）第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计如果

4、()满足下式：严格地说，此时()不具有线性相位特性，但以上两 种情况都满足群时延是一个常数，即 也称这种情况为线性相位。一般称满足（7.1.3）式是第一类线性相位；满足（7.1.4）式为第二类线性相位。 0=/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本章仅介绍这种情况。为常数(7.1.3)是起始相位(7.1.4)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足 线性相位时，对h(n)的约束条件。1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数 ()=，由式（7.1

5、.1）和（7.1.2）得到:（7.1.5） 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计由式（7.1.5）得到:将（7.1.6）式中两式相除得到：（7.1.6 ）第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计即 移项并用三角公式化简得到:函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。因为sin(n-)关于n=奇对称，如果取=(N1)/2，则要求h(n)关于(N1)/2偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件: (7.1.7)第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计

6、 由以上推导结论可知:如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第一类线性相位特性（严格线性相位特性），则h(n)应当关于n=(N1)/2点偶对称。当N确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，即()=(N1)/2。N为奇数和偶数时, h(n)的对称情况分别如表7.1.1中的情况1和情况2所示。（7.1.8） 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件第二类线性

7、相位FIR数字滤波器的相位函数 ()=/2，由式（7.1.1）和（7.1.2）， 经过同样的推导过程可得到:函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心(N 1)/2奇对称，是满足式（7.1.9）的一组解，因为cos(n)关于n=偶对称，所以要求和h(n)满足如下条件：（7.1.9 ）第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由以上推导结论可知，如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为N的FIR数字滤波器具有第二类线性相位特性，则h(n)应当关于n=(N1)/2点奇对称。N为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表7.1.1中情况3和情况4所示。（7.1.10） 第第

8、7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2 线性相位线性相位FIRFIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性HHg g( ( ) )的特点的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)代入式（7.1.1），设h(n)为实序列，即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性Hg()的约束条件。 当N取奇数和偶数时对Hg()的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，下面分四种情况讨论其幅

9、度特性的特点。这些特点对正确设计线性相位FIR数字滤波器具有重要的指导作用。为了推导方便，引入两个参数符号： 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计式中， 表示取不大于(N1)/2的最大整数。显然，仅当N为奇数时，M=(N1)/2 。 情况1： h(n)=h(Nn1), N为奇数。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=代入式（7.1.1）和（7.1.2），得到:第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计所以 因为cos(n-)关于=0, , 2三点偶对称

10、，所以由式（7.1.11）可以看出，Hg()关于=0, , 2三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。对于N=13的低通情况，Hg()的一种例图如表7.1.1中情况1所示。（7.1.11 ）第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况2： h(n)=h(Nn1), N为偶数仿照情况1的推导方法得到:（7.1.12）式中， 。因为是偶数，所以当时 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 而且cos(n)关于过零点奇对称，关于=0和2偶对称。所以Hg()=0，Hg()关于=奇对称，关于=0和2偶对称。

11、 因此，情况2不能实现高通和带阻滤波器。对N=12 的低通情况，Hg()如表7.1.1中情况2所示。 情况3： h(n)=h(Nn1)，N为奇数。将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()=-/2- 代入式（7.1.1）和（7.1.2）， 并考虑得到:第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计所以：第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，N是奇数，=(N1)/2是整数。 所以，当=0, 2时，sin(n)=0, 而且sin(n)关于过零点奇对称。因此Hg()关于=0, , 2三点奇对称。 由此可见，情况3只能实现带通滤波器。

12、对N=13的带 通滤波器举例，Hg()如表7.1.1中情况3所示。 第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 情况4： h(n)=h(Nn1), N为偶数。式中，N是偶数，=(N1)/2=N/21/2。 所以，当 =0, 2时，sin(n)=0；当=时， sin(n)=(1)nN/2, 为峰值点。而且sin(n )关于过零点=0和2两点奇对称，关于峰值点=偶对称。 因此Hg()关于=0和2两点奇对称，关于=偶对称。由此可见，情况4不能实现低通和带阻滤波器。对N=12的高通滤波器举例，Hg()如表7.1.1中情况4所示。(7.1.13)第第7 7章章 有限脉冲响应

13、数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计为了便于比较，将上面四种情况的h(n)及其幅度特性需要满足的条件列于表7.1.1中。应当注意，对每一种情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。例如，情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情 况1的幅度约束条件（Hg()关于=0, , 2三点偶对称）的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以，仅 从表7.1.1就认为情况1只能设计低通滤波器是错误的。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计3. 线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点将h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:（7.1.14） 第第7 7章章

14、有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 由（7.1.14）式可以看出，如z=zi是H(z)的零点，其倒数 也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此 也是其零点。这样，线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒 数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了, 如图7.1.1中 。当然，也有一些特殊情况，如图7.1.1中z1、z2和z4情况。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的零点分布第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.2 利用窗函数法

15、设计FIR滤波器7.2.1 窗函数法设计原理设希望逼近的滤波器频率响应函数为Hd(ej)，其单位 脉冲响应是hd(n)。如果能够由已知的Hd(ej)求出hd(n)，经过Z变换可得到滤波器的系统函数。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 但通常以理想滤波器作为Hd(ej)，其幅度特性逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。 例如，线性相位理想低通滤波器的频率响应函数Hd(ej) 为 其单位脉冲响应hd(n)为(7.2.1)(7.2.2)由此可得：单位脉冲响应hd(n)是无限长的，且是非因果序列。hd(n)的波形如图7.2.1（a）所示。第第7 7章章 有限脉冲响应数字滤波器