第四章量纲分析与相似原理

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1、第四章第四章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理本章主要介绍流体力学中的相似原理，模型实验方法以及量纲分析法。 解决流体 力学问题 的方法数学分析 实验研究 模型实验以相似原理为基础以相似原理为基础 第第4 4章章 量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论本章重点掌握：v量纲分析方法（瑞利法、 定理）v相似理论及其应用（相似准则、模型实验设计 ）4-1 量纲分析的基本概念 一、单位与量纲单位：表征各物理量的大小。如长度单位m、 cm、mm；时间单位小时、分、秒等。量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、 mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质

2、量类，用M表示。二、基本量纲与基本物理量1.基本量纲：具有独立性、唯一性在工程流体力学中，若不考虑温度变化，则常取质量 M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可 用基本量纲表示，如流速 dimvLT1密度 dimML3 力 dimFMLT2 压强 dim p=M L1 T12.基本物理量：具有独立性，但不具唯一性在工程流体力学中，若不考虑温度变化，通常取3个 相互独立的物理量作为基本物理量。如(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度 )、l(长度)等。基本物理量独立性判别任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲 ，即为3个物理量相互独立。三、物理方程的量纲齐次

3、性原理凡是正确描述自然现象的物理方程，其方程各项的量 纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程，可用任一项去除其余各 项，使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程用 除其余各项，可得无量纲方程：4-2 量纲分析法常用的量纲分析方法有瑞利法和泊金汉法（也称 定理）。定理）。 一、瑞利法基本思想：假定各物理量之间呈指数形式的乘积组合。例题1二、 定理定理 基本思想：某一物理现象中，共有i个物理量(这些物理量不 能由其它物理量组合而成)，这些物理量的基本量纲为j个， 则i个物理量存在某种函数关系。例题2f(x1，x2，xi)=0如

4、果用1，2，i-j表示由x1，x2，xi组成 的无量纲量，则有：vF(1，2，i-j)=0 应用定理的步骤（5步）：v 确定影响此物理现象的各个物理量 v 从n个物理量中选取m个基本物理量作为m个基本因次的代表。m 一般为3，应使其分别具有质量因次、时间因次（运动因次）、长度 因次，如、V、dv 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基 本物理量组合成一个无量纲的 项，一共写出 n3 个 项。v 据因次齐次性求各 项的指数 ai，bi，civ 写出描述物理现象的无因次关系式4-3 流动相似的基本概念表征 流动 过程 的物 理量 描述几何形状的 如长度、面积、体积等 描述运动状态

5、的如速度、加速度、体积流量等 描述动力特征的如质量力、表面力、动量等 按性 质分几何几何 相似相似运动运动 相似相似动力动力 相似相似流流 动动 相相 似似应 满足的条件一. 几何相似（空间相似） 定义： 模型和原型的全部对应线形长度 的 比值为一定常数 。（4-1） 以上标“ ”表 示模型的有关量 :长度比例尺（相似比例常数） 面积比例尺 :（4-2） 体积比例尺:（4-3） 图4-1 几何相似 满足上述条件，流 动才能几何相似 定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对 应点流速（加速度）的方向一致，大小的比例 相等，即它们的速度场（加速度场）相似。图4-2速度场相似 二二 运动相似（时间相

6、似）运动相似（时间相似）加速度比例尺:（4-6） 注：长度比例尺和速度比例尺 确定所有运动学量的比例尺。时间比例尺:速度比例尺:（4-4） （4-5） 运动粘度比例尺:体积流量比例尺:（4-7） （4-8） 定义：两个运动相似的流场中，对应空间点上 、对应瞬时作用在两相似几何微团上的力， 作用方向一致、大小互成比例，即它们的动 力场相似。 图4-3 动力场相似 三三. . 动力相似（力相似）动力相似（力相似）（4-10） 又由牛顿定律可知： 其中： 为流体的密度比例尺。 （4-9） 力的比例尺：动力粘度比例尺:功率比例尺:（4-13） （4-14） 有了模型与原型的密度比例尺，长 度比例尺和速

7、度比例尺，就可由它 们确定所有动力学量的比例尺。 压强（应力）比例尺 :力矩（功，能）比例尺 :（4-11） （4-12） 几何相似是运动相似和动力相似 的前提； 动力相似是决定流动相似的主要 因素； 运动相似是几何相似和动力相似 的表现。定义：在几何相似的条件下，两种物理现 象保证相似的条件或准则 。由式由式 ( (4-10) 得得: : （4-15） （4-16） （4-17） 当模型与原型的动力相似，则其牛顿数必定相等，即 ；反之亦然。这就是牛顿相似准则牛顿相似准则。 称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。 或或: : 令令: : 4-4 流动相似的准则一、重力相似准则（弗劳德准则）

8、二、粘性力相似准则（雷诺准则）三、压力相似准则（欧拉准则）四、弹性力相似准则(柯西准则)五、表面张力相似准则（韦伯准则）六、非定常性相似准则（斯特劳哈尔准则）流场中有各种性质的力，但不论是哪种力， 只要两个流场动力相似，它们都要服从牛顿相 似准则。一、重力相似准则一、重力相似准则或或: : 令令: : （4-18） （4-19） （4-20） 称为弗劳德数， 它是惯性力与重力 的比值。 当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反之亦 然。这就是重力相似准则重力相似准则（弗劳德准则）。 （a） 将重力比 带入式(4-15)得：重力场中 ，则：二、粘性力相似准则二、粘性力相似准则将粘性力之比

9、 带入式(4-15)得：或或: : 令令: : （4-21） （4-22） （4-23） 称为雷诺数， 它是惯性力与粘 性力的比值。 当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反之亦 然。这就是粘性力相似准则粘性力相似准则（雷诺准则）。 （b） 模型与原型用同一种流体时， ，则：三、压力相似准则三、压力相似准则或或: : 令令: : （4-24） （4-25） （4-26） 当压强用压差代替：将压力比 带入式(4-15)得：称为欧拉数，它 是总压力与惯性力 的比值。 当模型与原型的压力相似，则其欧拉数必定相等，反之亦然 。这就是压力相似准则压力相似准则（欧拉准则）。 （4-27） （4-2

10、8） 欧拉数: 欧拉相似准则: 四、弹性力相似准则（柯西准则）四、弹性力相似准则（柯西准则）将弹性力之比 带入式(4-15)得：（4-29） 或或: : （4-30） 令令: : （4-31） 称为柯西数，它是 惯性力与弹性力的 比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其柯西数必定相等，即 ；反之亦然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（柯西准则）。 四、弹性力相似准则（马赫准则）四、弹性力相似准则（马赫准则）（4-32） 若流场中的流体为气体，由于 （ c 为声速） 则弹性力之比 带入式(4-15)得：或或: : （4-33） 令令: : （4-34） 称为马赫数，它 是惯性力与弹性力 的比值。

11、 称为马赫数，它 是惯性力与弹性力 的比值。 当模型与原型的弹性力相似，则其马赫数必定相等，反之亦 然。这就是弹性力相似准则弹性力相似准则（马赫准则）。 五、表面张力相似准则五、表面张力相似准则将表面张力之比 带入式(4-15)得:（4-35） 或或: : （4-36） 令令: : （4-37） 称为韦伯数，它 是惯性力与表面张 力的比值。 当模型与原型的表面张力相似，则其韦伯数必定相等，即 ；反之亦然。这就是表面张力相似准则表面张力相似准则（韦伯准则）。 六、非定常性相似准则六、非定常性相似准则或或: : 令令: : （4-38） （4-39） （4-40） 将惯性力之比 带入式(4-15)

12、得：称为斯特劳哈尔数， 它是当地惯性力与迁移惯 性力的比值。 当模型与原型的非定常流动相似，则其斯特劳哈尔数必定相等 ，即 ；反之亦然。这就是非定常相似准则非定常相似准则（斯特劳哈尔准 则）。 以上给出的牛顿数、弗劳德数、雷诺数、欧拉 数、柯西数、马赫数、韦伯数、斯特劳哈尔数均 称 为相似准则数。 如果已经有了某种流动的运动微分方程，可 由该方程直接导出有关的相似准则和相似准 则数，方法是令方程中的有关力与惯性力相 比。 几点说明：弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的 常用准则. 一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则 为导出准则. 流动相似条件流动相似条件 流动相似：在对应

13、点上、对应瞬时，所有物理量都成比例。 相似流动必然满足以下条件：相似流动必然满足以下条件： v1任何相似的流动都是属于同一类的流动，相似流场对 应点上的各种物理量，都应为相同的微分方程所描述；v2相似流场对应点上的各种物理量都有唯一确定的解， 即流动满足单值条件；v3由单值条件中的物理量所确定的相似准则数相等是流 动相似也必须满足的条件。 模型实验主要解决的问题模型实验主要解决的问题 ： v1根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模型，选择流动介质； v2在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量 ； v3用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方 程式。该方程式便可推广应用

14、到原型及其他相似流动中去。 一、模型律的选择从理论上讲，流动相似应保证所有作用力相似，但一般难以实现 。如仅保证重力和粘性力相似，则应同时满足弗劳德准则和雷诺 准则，故有即应按上式选择模型流体，一般难以实现；若取 即原 、模型采用同oxing流体，则将导致 ，失去了模型试验的 价值。4-5 模型试验设计实际应用时，通常只保证主要力相似. 一般情况下： 有压管流、潜体绕流：明渠流动、绕桥墩流动：选雷诺准则 选弗劳得准则二、模型设计二、模型设计定长度比尺 ，确定模型流动的几何边界；选介质 ，一般采用同一介质： ；选模型律.例题3例题1 例例11 已知管流的特征流速Vc与流体的密度、动力粘度和管径d

15、 有关，试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构. 解解 式中k为无量纲常数。其中，各物理量的量纲为：假定例题1代入指数方程，则得相应的量纲方程根据量纲齐次性原理，有解上述三元一次方程组得：故得：其中常数k需由实验确定.例题2 例例22 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受阻力FD与球体 直径d、球体运动速度V、流体的密度和动力粘度有关，试用 定理量纲分析法建立FD的公式结构. 解解 选基本物理量、V、d，根据定理，上式可变为其中假定例题2对1：解上述三元一次方程组得：故例题2代入 ，并就FD解出，可得：式中 为绕流阻力系数，由实验确定。同理：例题3 例例33 已知溢流坝的过流量Q1000m3/s,若用长度比尺CL1/60的模