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1、第2章 单自由度系统机械工程学院王文瑞 博士，副教授2.6 周期强迫振动2.7非周期强迫振动2.6 周期强迫振动 v模型简化依据：非简谐的周期激励在工程结构中的振 动中大量存在，一般地，如果周期激励中的某一谐波 的振幅比其他谐波的振幅大得多，大多可以作为简谐 激励；反之，则周期激励。v求解方法：一般周期激励下系统的响应问题需要将激 励展开为Fourier级数，分别求出各个谐波引起的响 应，再利用叠加原理得到系统的响应。 u 周期函数展开为傅立叶级数的物理意义: 把一个比较复杂的周期激励看成是许多不同频率 的简谐激励的叠加。Fourier级数 定理：设周期为T的周期函数f(t)满足收敛定理 的条
2、件， 则它的傅立叶级数展开式为其中系数 利用三角函数的正交性求出： 周期激励函数一般都满足收敛定理的条件，都 可以展开为如下形式的傅立叶级数：其中 谐波分析 频率 称为基本频率，简称基频；对应于 基频的简谐分量，称为基波； 对应于频率为 ， 的简谐分量称为 二次谐波，三次谐波，等等。 谐波分析法基本思想： 首先，将周期激励分解为一系列简谐激励之和。 然后，求出系统对各个简谐激励的响应。 最后，由线性系统的叠加原理，将每个响应叠加 起来。 即得到系统对周期激励的响应。 周期激励的处理v将f(t)展成Fourier级数：v其中的第p项为：v对应的响应为： 求解振系在简谐激励 与分别作用下,相应的强
3、迫振动可依次表示为组集总响应v根据线性系统的叠加原理结论v系统的稳态响应也是周期函数，其周期仍然为T，并且激励的每个谐波都只引起与自身频率相同的响应，这是线性系统的特点。v在周期激励中，只要系统的固有频率和激励中的某一谐波频率接近就会发生共振，因此，对于周期激励，要避开系统共振区比简谐激励要困难。通常使用适当增加系统阻尼的方式来减振。实例例1 无阻尼单自由度系统受如图所示的周期 方波激励。试求系统的稳态响应。解：周期方波激励 的数学描述为式中T为周期。将F(t)展开为傅里叶级数，其傅里叶级数的 系数为则周期方波表示的傅里叶级数为求得响应为例2 图示凸轮使顶杆D沿水平线作周期锯齿 波形运动，通过
4、弹簧k1使振动系统有强迫振动。 已知凸轮升程为2 cm，转速为60 r/min,k1=k=10 N/cm,c=0.5 Ns/cm,m=1/20 kg。试求振动系统 的稳态振动。 解：顶杆D的运动 方程为图 3.7-2 激振频率为1 Hz，即T=1 s，=2 。将激励x1 展开成傅里叶级数为傅里叶级数的系数为得x1的傅里叶级数为振动系统的运动微分方程为令则对应于激励的j次谐频 ，振动系统 的稳态运动为对应于常数项k1，振动系统的响应为因此，在凸轮运动的作用下，振动系统的稳态运 动为由给出的数据，有因此，得作业: 无阻尼弹簧质量系统受到如图所示的力，试求系统的响应解 ：激励力可表示为2.7 非周期
5、激励作用下的强迫振动非周期激励作用的特点作用时间短峰值大非周期强迫振动求解瞬态激励周期激励与响应的特点v前面章节讨论的激励力，无论是外界力或是支座的位移，我们都假定其函数要么为简谐，要么可以通过Fourier级数展成一系列简谐函数的和。v振动系统对周期激励的响应通常指系统的稳态强迫振动响应，是按照激励频率（可以是单一的，亦可以是一系列）进行的周期振动。 非周期激励的特点v在许多实际问题中，对振动系统的激励往往 不是周期的，而是任意的时间函数，或者只 是持续时间很短（相对于振动系统固有周期 ）的冲击。举例：车辆越障，瞬时冲击非周期激励响应的特点v相应地，瞬态激励引起的系统振动响应持续时间也不长，
6、但响应的峰值往往很大，使结构产生较大应力和变形。v振动系统通常没有稳态运动，只有瞬态振动v在激励消失后，振动系统进行阻尼自由振动，即所谓的剩余振动。v振动系统在任意激励下的运动，包括剩余振动，称为振动系统对任意激励的响应。非周期强迫振动求解（时域法）脉冲响应函数法解决问题的思路：把非周期激振力看作是一系列作用时间极短的脉冲分 力的叠加；在脉冲力作用下的响应 应用动量定理；总响应 叠加原理。脉冲力定义v如果F(t)的幅值很大，但作用时间很短，即 ，那么如果冲量：仍然为通常的数量级，这种力称为脉冲力。v 通常硬物体之间的碰撞力、闪电、电容瞬间的放电（照相机的闪光灯）都具有脉冲力的类似性质。 状态描
7、述v如果F(t)的作用时间为(，)(为任意非负 实数)，即当t和t 0后，系统不受外力，自由振动。系统受到脉冲力作用后的运动微分方程： v它的解为：v这就是初始时刻静止的系统在t=0时刻受到脉冲力 作用后的响应。 系统单位脉冲响应函数 v系统受到单位脉冲力作用，此时的系统的响应称为系统单位脉冲响应简称系统脉冲响应，用h(t)表示 ：一般单位脉冲响应v显然，在 以前静止的系统在 时，受到一个单位脉冲激励后的响应为：各时刻脉冲响应的叠加v 时刻的脉冲力 v该脉冲力的响应v系统在t时刻的响应把非周期激振力f（t）看作是一系列脉冲力的叠加；如果系统初始条件不为零，即： 系统总的响应为 ：脉冲响应的意义
8、v系统的脉冲响应由系统本身的物理性质决定。系统的脉冲响应反映了系统的振动特性。 实例：锤击法 v在振动试验中，有一种方法叫做锤击法。v用锤头带有力传感器的锤子敲击被测的结构，力传 感器测出敲击的力信号，装在结构上的加速度传感 器测出结构的加速度响应信号，把测出的力信号和 加速度信号经过处理，可以求出系统的振动参数。v如固有频率，阻尼比等。锤击法测试速度快，所需 设备少，便于现场测试。v前面讲述的方法都是直接在 时域中 求解微分方程，得到是系统的时间响应历程。v对于一个振动问题，可以用Fourier变换在 频率域 内分析激励频谱，响应频谱以及系统特性的频率域描述之间的关系。非周期强迫振动求解（频
9、域法）Fourier变换方法求解 周期激励的频谱图频谱是信号中各频率分量按频率高低依次排列的总体。幅频是信号中各频率分量的幅值与频率之间的关系。相频是信号中各频率分量的相位与频率之间的关系。非周期激励和傅里叶变换周期激励的傅里叶级数的复数形式为：v谱线之间的频率间隔v离散频谱中相邻的谱线无限接近，离散频谱成为连续频谱v离散变量 变成了连续变量，求和运算就变成了求积分运算，于是得：非周期信号称 为 的傅里叶变换或傅里叶积分Fourier（正）变换称 为 的傅里叶逆变换，两者互为傅里叶变换对，即 Fourier逆变换傅里叶变换对构成傅里叶变换对记为傅里叶变换的常用性质1. 线性叠加性若 和 分别有
10、傅里叶变换为 、 ，则若则即把时域信号沿时间轴平移一常值t0，则使其频域引起相应的相移2. 时移特性3. 频移特性若则v在频域中将频谱沿频率轴平移一常值 ，则相当于在对应时域中将信号乘以因子 。若则4. 微分和积分特性两个函数 和 ，定义 为函数 与 的卷积，记作5. 卷积特性若 ，则若则在时域中计算的信号总能量等于在频域中计算的信号总能量。6. 能量积分(巴什瓦等式)v1. 列出系统的微分方程：如果激励f(t)的Fourier变换存在，即有：Fourier变换方法求解微分方程v2. 对方程两边进行Fourier变换，根据Fourier变换的性质：得到响应的Fourier变换为： v3. 做响
11、应频谱的Fourier逆变换，获得时域解 ：频响函数v定义： v 为系统的频率响应函数，简称频响函数。v频响函数是系统振动特性的频域描述，它反映了系统本身的频域特性。 频响函数的作用v已知系统频响函数 的表达式,则可以通过下面的式子求出系统的刚度和阻尼。v通常 无法直接获得，而是根据测量到的一系列，通过曲线拟合的方法获得。特别地，用Fourier变换求解的条件用Fourier变换条件是：vf(t)在任意有限区间内都只有有限个第一类间断点;vf(t)在 上绝对可积：v系统的初始条件是静止的，即初始条件为零工程应用v可见，利用Fourier变换在频域中求解，免去了在 时域中求解微分方程的困难v但要
12、得到系统在时域的响应要用到Fourier逆变换，而用解析法求Fourier逆变换也比较麻烦。v由于快速Fourier变换（FFT，数值解法）方法的广泛应用，因此，求Fourier变换一般用FFT而不用积分。 例1v求系统 中响应 对激励 的频响函数 例1解v对 两边进行Fourier变换得：vLaplace变换是常用的求解微分方程的方法，可以方便的求系统在任意载荷下的响应，而且可以计入初始条件。非周期强迫振动求解（频域法）Laplace变换方法求解 v单自由度系统的微分方程：v由Laplace变换的常用性质：方程的解v两边取Laplace变换，v响应的Laplace变换为： 例1v例：用Laplace变换求解方程做变换v由书后附录：v方程两边做Laplace变换非共振时v当v查表可得Laplace逆变换共振时v当 时v由：v时域解：传递函数 v传递函数脉冲响应，频响和传递函数的关系
