《工程数学(近世代数)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学(近世代数)（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、近世代数高等工程数学2代数结构部分v第4章 知识准备 v第5章 群 v第6章 环和域3第4章 知识准备v二元运算定义及其实例 v 运算的表示 v 二元运算的性质 交换律、结合律、消去律 分配律 v 二元运算的特异元素 单位元 零元 可逆元素及其逆元4二元运算的定义及其实例定义 设 S 为集合,映射 f：SSS 称为 S 上的二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的加法、乘法. (2) Z 上：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = a1, a2, , an, ai aj = ai ， 为 S 上二 元
2、运算. 5二元运算的实例（续）(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n2) 实矩阵的集 合，即 矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：, . (7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算. 6二元运算的表示算符：, , , , 等符号 表示二元运算对二元运算 ，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy = z；表示二元或一元运算的方法：公式、 运算表7公式表示 例2 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运算 ：x, yR, x y = x. 那么 3 4 = 30.5 (-3) = 0.5运算表（表示有穷集上的二元运算）二元运
3、算的表示（续）8运算表的形式a1 a2 ana1a2. ana1a1 a1a2 a1an a2a1 a2a2 a2an. . . . . . . ana1 ana2 anan 9运算表的实例（续）例3 Z5 = 0, 1, 2, 3, 4 , 模 5 加法的运算表 0 1 2 3 4 0 1 2 3 40 1 2 3 41 2 3 4 02 3 4 0 13 4 0 1 24 0 1 2 3 10二元运算的性质定义 设 为 S 上的二元运算,(1) 如果对于任意的 x, y S 有x y = y x, 则称运算在 S 上满足交换律. (2) 如果对于任意的 x, y, z S 有(x y) z
4、 = x (y z), 则称运算在 S 上满足结合律. (3) 如果对于任意的 x, y, zS，若 x y = x z，则 y = z若 y x = z x, 则 y = z 那么称 运算满足 消去律. 11消去律实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律. Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数时关于 模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关于模 n 乘 法不满足消去律. 12二元运算的性质（续）定义 设 和 为 S 上两个不同的二元运算,如果 x, y, zS 有 (x y) z = (x z) (
5、y z)z (x y) = (z x) (z y) 则称 运算对 运算满足分配律. 13实例分析集合 运算分配律Z,Q,R普通加法 + 与乘法 对 + 可分配+ 对 不分配Mn(R)矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配 + 对 不分配Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实矩阵集合, n2；14二元运算的特异元素单位元 定义 设为S上的二元运算, 如果存在eS，使 得对任意 xS 都有e x = x e = x，则称 e是 S 中关于 运算的 单位元. 单位元也叫做 幺元.定理 若 S 中关于运算存在单位元，则 单位元是 唯一的.15二元运算的特异元素（续）零元设 为
6、 S 上的二元运算, 如果存在S，使 得对任意 xS 都有 x =x = )，则称是S 中关于 运算的 零元. 定理 若 S 中关于运算存在零元，则 零元是 唯一的.16二元运算的特异元素（续）可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算的单位元. 对于 xS，如 果存在yS 使得y x = x y= e， 则称 y是 x 的 逆元. 如果 x 的逆元存在，则唯一，记为x-1 ,称 x 是 可逆的.17实例分析集合运算单位元零元逆元 Z, Q, R普通加法+0无X 的逆元 x普通乘法10X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元X矩阵乘法 n阶单位矩阵n阶
7、全0 矩阵X的逆元 X1 （X是可逆矩阵）P(B)并B 的逆元为 交BB 的逆元为 B对称差无X 的逆元为 X18例题分析解 (1) 运算可交换，可结合. 任取x, yQ,x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x,任取x, y, zQ,(x y) z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例4 设 运算为 Q 上的二元运算，x, yQ, xy = x+y+2xy, (1) 运算是否满足交
8、换和结合律? 说明理由.(2) 求 运算的单位元、零元和所有可逆元.19给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x y = 0 成立，即x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 因此当 x 1/2时， 是 x 的逆元. 例题分析（续）(2) 设运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 xe = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 运算可交换，所以 0 是幺元.对于任意 x 有 x = 成立，即x+2 x = x + 2 x = 0 = 1/2 20代数系统定义与实例定义 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, , fk 组成的系统称
9、为一个代数系统, 简称代数 ，记做 V=.21实例, , 是代数系统，+ 和 分别表示普通加法和乘法. 是代数系统，+ 和 分别表示n 阶 (n2) 实矩阵的加法和乘法. 是代数系统，Zn0, 1, , n-1， 和 分别表示模 n 的加法和乘法，x,yZn，xy = (xy) mod n，xy = (xy) mod n也是代数系统，和为并和交，为绝对补22v5.1 群的定义与性质 v5.2 子群 v5.3 循环群 v5.4 置换群第5章 群235.1 群的定义及性质v群的定义 v群中的相关概念 有限群、无限群与群的阶 Abel群 群中元素的幂 元素的阶 v群的性质 幂运算规则、 群方程的解
10、消去律 群的运算表的排列24群的定义 定义 设G是非空集合， 为G上的二元运算. 如果(1) 此运算是封闭闭的； （2）此运算满满足结结合律； （3）存在单位元 eG，即对任意x G，有e x= x e = x （4）对 G 中的任何元素 x 都有 x1G，即x1 x= x x1 = e 则称 G 关于是 群.有时也记作25群的实例 (1),是群；,不是群. (2) 是群，而不是群. (3) 是群. Zn= 0,1, , n1，为模 n 加. 26Klein四元群设G = e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为 Klein四元群 e a b ceabce a b ca e c bb
11、 c e ac b a e 运算表特征： 对称性-运算可交换 主对角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元 a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素.27二、群中的相关概念若群 G 是有穷集，则称 G 是有限群，否则称为 无限群. 群 G 的所含元素的个数称为群G的 阶 有限群 G 的阶记作|G|. 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换 群 或 阿贝尔(Abel)群. 28实例和 是无限群是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = e, a, b, c是 4 阶群 上述群都是交换群n 阶 (n2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群 是非交换群. 29实例 在中有 23=
12、(21)3=13=111=0 在 中有 (2)3=23=2+2+2=6 定义 设G是群，xG，nZ，则 x 的 n 次幂 xn 定义为 二、群中的相关概念30设G是群，xG，使得等式 xk = e 成立的最小正整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称 x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为无限阶元.在中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和 5 是 6 阶元，0 是 1 阶元 在中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在. 二、群中的相关概念31三、群的性质-幂运算规则定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足：(1) xG，(x1)1
13、= x.(2) x, yG，(xy)1 = y1x1. (3) xG，xnxm = xn+m，n, mZ. (4) xG，(xn)m = xnm，n, mZ. 注： (xy)n = (xy)(xy)(xy), 是 n 个xy 运算，G为交换群，才有 (xy)n = xnyn. 32三、群的性质-群方程存在唯一解定理2 G为群，a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解.33三、群的性质-消去律定理3 G 为群，则G适合消去律，即a,b,cG 有 (1) 若 ab = ac，则 b = c.(2) 若 ba =
14、 ca，则 b = c. 34三、群的性质-运算表排列规则定理4 设 G 为有限群，则 G 的运算表中每行每列 都是 G 中元素的一个置换，且不同的行（或列） 的置换都不相同. 注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群. a b c dabcdb c d ab a c dc d b ad b a c a b c dabcda b c dc d a bb c d ad a b c 35v5.1 群的定义与性质 v5.2 子群 v5.3 循环群 v5.4 置换群第5章 群36子群v定义 v子群的判定定理 v重要的几类子群37子群的定义定义 设 G 是群，H 是 G 的非空子集，如果 H 关 于 G 中的运算构成群，则称 H 是 G 的子群, 记作HG
