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1、3 . 幂级数一、函数项级数的概念定义 ：简称 (函数项) 级数 。称为数集 D (或区间 I )上的函数项无穷级数 ，函数项级数可看成是一族常数项级数， 从而可用数项级数的有关方法来研究函数项 级数。收敛点全体称为它的收敛域。发散点全体称为它的发散域。对于 中的每一点，不是收敛点就是 发散点。 对收敛域内任意一点 x ，函数项级数为一收敛的常数项级数， 有一确定的和 S,且与 x 有关。 收敛域上函数项级数的和就是 x 的函数 ，记为 S(x) , 称为函数项级数的和函数，其定义域就是（注意，与一般项 un(x) 的定义域不同）同样，例1.解： 的收敛域为 (-1,1) 。例2.解 ： 由例
2、1 ,例3. 在 0, 1 的和函数。 解：（非 un ）1un(x) 在 0, 1 上连续， 但 S(x) 在x = 1处间断，S(x)的定义域小于级数的定义域 , 级数的收敛域一般小于或等于其定义域。二. 幂级数及其收敛性 定义：的级数称为幂级数。其中常数 称为幂级数的系数,形如显然，幂级数的定义域为 显然是幂级数的收敛点。幂级数是函数项级数中最常见且简单的一种，定理1 （阿贝尔定理）其收敛域如何？证明：反证 ： 若有一点 x1 , 适合并使 (*) 收敛, 则由 (1) 知,矛盾！即幂级数的收敛点与发散点不可能互相混杂。(1)收敛半径, 记为 R .(2) 在收敛与发散点之间的分界点:上
3、, 幂级数可能收敛也可能发散，推论：( P. 209 )也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个 完全确定的正数 R 存在，使得：则 R = 0 ,收敛区间,收敛域。若：证明：考察正项级数：由比值法：例题讨论求解下列幂级数的 收敛半径，解：由定理 2：收敛区间 与 收敛域。例 ：解：(-5, 5)解 ：( 用根值法 )解一：用比值法解二:解：= R,解：用比值法：课外作业习题 6 41（1 , 3, 5, 6, 7）三. 幂级数的运算1）加减法1. 代数运算2) 乘法3) 除法2 . 分析运算性质1. 幂级数的和函数 在其收敛域内连续.性质2. 幂级数的和函数 在其收敛域内可导，且有逐项求导公式:
4、（ 反复用上述结论，可知 S(x) 在收敛域 内有任意阶导数）性质 3. 幂级数的和函数 在其收敛域内可积，且有逐项积分公式：虽然收敛半径不变，但在端点 处的敛散性可能会改变。求积后所得幂级数的收敛域不小于 原级数的收敛域。一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于 原级数的收敛域。例 ：用逐项求导或逐项积分的方法，可求得一些级数在收敛域内的和函数。例题讨论解 ：不必先求收敛域，在求和函数的过程 求下列幂级数的收敛域与和函数： 中可求得收敛域。先逐项求导：先逐项积分：可见，关键在于求导或积分后所得的幂级数能写出和函数。写出和函数时要注意：01- x1先求积消 去 (2n-1)先求导，？x0先求导后积分时要判别端点处的敛散性 。课外作业习题 6 42（1，2，3，4 ）
