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1、高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学(四) 概率论与数理统计脚本编写：孟益民 教案制作：孟益民第二章 随机变量及其分布理解随机变量的概念。理解分布函数的概念和性质。理解离散型随机变量及概率分布（分布列）的概念和性质。理解连续型随机变量及概率密度的概念和性质。掌握二顶分布，泊松（Poisson）分布，正态分布，了解均匀分布与指数分布。本章学习要求：第一节 随机变量及其分布函数第二节 离散型随机变量及其分布律一、随机变量二、离散型随机变量及其概率分布三、随机变量的分布函数四、离散型随机变量的常见分布一、随机变量( random variable )X是一个变量，它取什么值与试验结果有关.也具
2、有随机性，称为随机变量.例1例2定义定义例此映射具有如下特点定义域 事件域 随机性 r.v. X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值。概率特性 由于随机变量取不同的值表示着不同随机事件因此随机变量X取值有确定的概率.引入r.v.后, 可用r.v.的等式或不等式表达随机事件引入 r.v.重要意义 任何随机现象可被 r.v.描述 借助微积分方法将讨论进行到底二、离散型随机变量及其概率分布定义定义解例3从110这10个数字中随机取出5个数字，令：X ：取出的5个数字中的最大值试求 X 的分布律具体写出，即可得 X 的分布律：解例4X 的取值为5，6，7，8，9，1
3、0 并且将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差 试求 X 的分布律解例5X 的取值为-3，-1，1，3 并且设随机变量 X 的分布律为由随机变量的性质，得该级数为等比级数，故有所以解例6设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过. 以 X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求 X 的分布律. (信号灯的工作是相互独立的).PX=3=(1-p)3p例7以 p 表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则 X 的分布律为：Xpk0 1 2 3 4 p (1-p) p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 或写成
4、PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3PX= 4 = (1-p)4 解以 p = 1/2 代入得：Xpk0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例8说明说明显然，当 n =1 时例9解一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？则答5道题相当于做5重Bernoulli试验每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，例10解所以定理定理设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,., 而取各个值的概率为其中 0 是常数. 则称X 服从参数为 的泊松分布, 记为X P( )
5、. 易知, P(X=k)0, k=0,1,2,.,且有泊松分布分布律的验证例10解设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600 次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布 近似计算）设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.例解所以，几 何 分 布若随机变量 X 的分布律为超几何分布如果随机变量 X 的分布律为二、随机变量的分布函数定义定义对任意实数a, b (ab), PaXbPXbPXaF(b)F(a).设随机变量X 的概率分布表为 例11解一般地，对离散型随机变量XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应 随机变量取对应值的概率;反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.注 意 点 对离散随机变量的分布函数应注意：(1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的;(3) 其间断点即为X的可能取值点;(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.证证反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。设随机变量X 的分布函数为 例12解请填空用分布函数表示概率设 r.v. X 的分布函数：计算例13解
