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1、1机动 目录 上页 下页 返回 结束第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结 思考题2机动 目录 上页 下页 返回 结束柱体体积=底面积高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体的体积一、问题的提出引例3机动 目录 上页 下页 返回 结束【解法】类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy 面上的闭区域D顶: 连续曲面侧面：以D的边界为准线 , 母线平行于z 轴的柱面 求其体积.“分割, 取近似, 求和, 取极限”4机动 目录 上页 下页 返回 结束【步骤如下】取近似、 求和：用若干 个小平顶柱体体积之和近似 表示曲顶柱体的体积，分割
2、：先分割曲顶柱体 的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积取极限：5机动 目录 上页 下页 返回 结束求平面薄片的质量分割：将薄片分割成若干小块，近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片， 求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量【分析】 =常数时，质量= ，其中 为面积. 取极限：得薄片总质量若 为非常数，仍可用“分割, 取近似, 求和, 取极限”解决.6机动 目录 上页 下页 返回 结束两个问题的共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“分割, 取近似, 求和, 取极限”曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 7机动 目录 上页 下页 返回 结束二、二重积分的概念8机动 目录 上页
3、 下页 返回 结束积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素9机动 目录 上页 下页 返回 结束2.【对二重积分定义的说明】存在的必要条件.(1)积分存在时，值与区域的分法和点的取法无关 代替？不能用连续是二重积分存在的充分条件10机动 目录 上页 下页 返回 结束3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积 .1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.几个特殊结果几个特殊结果11机动 目录 上页 下页 返回 结束根据分割的任意性，当二重积分存 在时，在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D（特殊 分割
4、的二重积分与任意分割的二重 积分相等）故二重积分可写为D D则直角坐标系下面积元素为即12机动 目录 上页 下页 返回 结束【性质1】【性质2】（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分【线性性质】线性性质可以推广至有限个函数的情形。13机动 目录 上页 下页 返回 结束【性质3】 对区域具有可加性【性质4】若 为D的面积，【性质5】若在D上特殊地则有比较性质14机动 目录 上页 下页 返回 结束【性质6】【性质7】（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）【几何意义】曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积15机动 目录 上页 下页 返回 结束【证明】以下仅证性质7（中值定理）由
5、估值性质得据有界闭域上的连续函数的介值定理变形后 【得证】16机动 目录 上页 下页 返回 结束【例1】 比较下列积分的大小:其中【解】积分域D 的边界为圆周它与x 轴交于点(1,0) ,而区域D位从而于直线的上方, 故在 D 上 作业题、课后习题17机动 目录 上页 下页 返回 结束【解】18机动 目录 上页 下页 返回 结束【解】19机动 目录 上页 下页 返回 结束【解】【分析】被积函数在积分区域上的正负决定二 重积分的符号.（比较性质的特例）20机动 目录 上页 下页 返回 结束【解】课后习题21机动 目录 上页 下页 返回 结束【解】区域D的面积故即课后习题22机动 目录 上页 下页
6、 返回 结束【例7】1.设函数 D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上当区域关于y 轴对称, 函数关于变量x 有在闭区域D上连续 ,D关于x 轴对称 ,则则奇偶性时,仍有类似结果.23机动 目录 上页 下页 返回 结束在第一象限部分, 则有【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要 兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性）【例如】24机动 目录 上页 下页 返回 结束二重积分的定义二重积分的性质（7条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）25机动 目录 上页 下页 返回 结束【思考题】1.将二重积分定义与定积分定义进行比较
7、 ，找出它们的相同之处与不同之处.2.在二重积分定义中能否用 来代替 ? 为什么?26机动 目录 上页 下页 返回 结束1.定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数【思考题解答】2.不能.27机动 目录 上页 下页 返回 结束【练习】机动被积函数相同, 且非负, 【解】 由它们的积分域范围可知1. 比较下列积分值的大小关系:28机动 目录 上页 下页 返回 结束2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为 ( )【提示】因 0 y 1, 故故在D上有
