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1、 4.3 4.3 大数定律与大数定律与 中心极限定理中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:与大数定律中心极限定理下面我们先介绍大数定律一、大数定律 问题提出及背景在大量的随机试验中，事件的频率及大量测量值 的算术平均值都具有稳定性。频率的稳定性：则n次试验中A出现的频数A出现的频率算术平均值的稳定性：真值为， 为n次测量
2、结果，我们知道以严格的数学形式表述随机现象最根本性质之一： 平均结果稳定性的定理，统称为大数定律。他从理论上 指明了大量随机现象的统计规律性。大量抛掷硬币 正面出现频率字母使用频率生产过程中的 废品率1.契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式契比雪夫得由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.由此可体会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它 的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .如取例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞 数平均是7300
3、，均方差是700 . 利用契比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)= P(-2100 X-E(X) 2100)= P |X-E(X)| 2100由契比雪夫不等式P |X-E(X)| 2100即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不 小于8/9 .例2 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用契比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中,
4、 事件A出现的频率在0.740.76之 间的概率至少为0.90?解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，E(X)=0.75n, 的最小的n .则 XB(n, 0.75)所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n=P(-0.01nX-0.75n 0.01n)= P |X-E(X)| 0.01nP(0.74n X0.76n )可改写为在契比雪夫不等式中取n，则= P |X-E(X)| 0.01n解得依题意，取即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90 .2.契比雪夫大数定律定理 若随机变量 相互独立，各个 的 及
5、 都存在，且各个 的值不超过某一正数k，则对于任意给定的正数表达式的意义1000个0，4均匀分布随机数前n项算术平均值的变化趋势推论 若随机变量 相互独立，同分布，且各个 的 为有限数，则对于任意给定的正数关于契比雪夫大数定律的说明:（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.定理的另一种叙述:伯努利定理（伯努利大数定理）关于伯努利定理的说明:故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试 验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代 替事件的概率.二、 中心极限定理 问题提出及背景观
6、察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界 中极为常见.实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速 、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不 同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它 们中每一个对总和产生的影响不大.在实际问题中，常常需要考虑许多随机因
7、素所产 生的影响。现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规 律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.定理（独立同分布的中心极限定理）定理表明:特别，应用中一种常用的情形：它就是我们学过的De Moivre-Laplace定理。三、典型例题解由中心极限定理, 随机变量 Z 近似服从正态分布N (0,1) ,例1其中一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问
8、其中有29 50030 500次 纵摇角大于 3 的概率是多少？解 将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,例2所求概率为分布律为直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.解设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,例3保险公司亏本的概率对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一
9、个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05， 0.8，0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数 X 超过450的概率; (2) 求有1 名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.解例4根据独立同分布的中心极限定理，由德莫佛拉普拉斯定理知,证例5根据独立同分布的中心极限定理，两个大数定理契比雪夫大数定理伯努利大数定理频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.四、小结两个中心极限定理独立同分布的中心极限定理德莫佛拉普拉斯定理中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于 正态分布. Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May. 1821 in Okatovo, Russia Died: 8 Dec. 1894, in St. Petersburg, Russia契比雪夫资料伯努利资料Jacob BernoulliBorn: 27 Dec. 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland
