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1、第三讲 定点、定值与最值问题一、主干知识1.定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.2.定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.最值问题的两大求解策略：解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别关注用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的结构特征直接或换元后选用基本不等式法、导数法、数形结合法等求最值.二、重要结论1.直线与圆锥
2、曲线相交的问题，牢记“联立方程，把要求的量转化为根与系数的关系”.2.有关弦长问题，牢记弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要牢记圆锥曲线定义的运用，以简化运算.3.涉及弦中点的问题，牢记“点差法”是联系中点坐标和弦所在直线的斜率的好方法.4.求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量”.不等式的来源可以是0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的范围等.5.牢记曲线f1(x,y)+f2(x,y)=0(为参数)过曲线f1(x,y)=0与f2(x,y)=0的交点.1.(2013昆明模拟)已知直线x=t与椭圆 交于P，Q
3、两点，若点F为该椭圆的左焦点，则 取最小值时t的值为_.【解析】椭圆的左焦点F(-4,0),根据对称性可设P(t,y),Q(t,-y)，则 =(t+4,y), =(t+4,-y),所以 =(t+4,y)(t+4,-y)=(t+4)2-y2.又因为所以 =(t+4)2-y2=t2+8t+16-9+ t2=所以当 时， 取值最小.答案：2.(2013重庆模拟)以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是_.【解析】由抛物线定义知该圆必过抛物线y2=8x的焦点F(2,0).答案：(2，0)3.(2013江西高考改编)已知点A(2，0)，抛物线C：
4、x2=4y的焦点为F，直线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FMMN=_.【解析】设直线FA的倾斜角为，因为F(0,1)，A(2,0)，所以直线FA的斜率为 即tan = 过点M作准线的垂线交准线于点Q，由抛物线定义得FM=MQ，在MQN中可得 即FMMN=1答案：14.(2013盐城模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F(1，0)过抛物线在x轴上方的不同两点A，B作抛物线的切线AC，BD，与x轴分别交于C，D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N(1)求抛物线的标准方程.(2)求证：MNx轴.(3)若直线MN与x轴的交点恰为F(1，0
5、)，求证：直线AB过定点【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，由题意，得 即p=2所以抛物线的标准方程为y2=4x(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y10，y20由y2=4x(y0)，得所以切线AC的方程为y-y1=即yy1= (xx1)整理，得yy1=2(x+x1)，且C点坐标为(x1，0)同理得切线BD的方程为yy2=2(x+x2)，且D点坐标为(x2，0)由消去y，得xM=又直线AD的方程为 直线BC的方程为 由消去y，得xN=所以xM=xN，即MNx轴(3)由题意,设M(1,y0),代入(2)中的,得y0y1=2(1+x1),y0y2=2(1+x2).所以
6、A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程y0y=2(1+x).所以直线AB的方程为y0y=2(1+x).故直线AB过定点(-1,0).热点考向 1 定点的探究与证明问题 【典例1】(1)(2013郑郑州模拟拟)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线线y2=4x上的两个动动点,O是坐标标原点, =0,则则直线线AB过过定点 .(2)(2013聊城模拟拟)如图图,已知椭圆椭圆 C: (ab0)的离心率为为 以原点O为圆为圆 心,椭圆椭圆 的短半轴长为轴长为 半径的圆圆与直线线x-y+ =0相切.求椭圆的标准方程.设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同
7、的点，连结PB交椭圆C于另一点E，证明动直线AE经过一定点.【解题探究】(1)由 =0，得y1y2为定值_；当x1x2时，直线AB的斜率kAB=_(用y1,y2表示)直线AB的方程为_.(用y1,y2表示)当x1=x2时，直线AB的方程为x=_.(2)由离心率为 _;由点到直线的距离求得b=_.证明动直线AE经过一定点的关键是什么？提示：关键选与直线PB有关的参数建立直线AE的方程.-16(y1+y2)y=4(x-4)4【解析】(1)因为所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16，当x1x2时，AB方程y-y1=(y1+y2)y-y12-y1y2=4x-4x1(y1+y2)y=4x-16,即
8、(y1+y2)y=4(x-4)经过(4,0)，当x1=x2时，x1=x2=4,即直线AB方程为x=4过点(4，0).答案：(4，0)(2)由题意知所以又因为以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+ =0相切，所以有所以故椭圆的方程为：由题意知直线PB的斜率存在；设直线PB的方程为y=k(x-4),由得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0.设点B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),则x1+x2= x1x2= ()直线AE的斜率kAE=所以直线AE的方程为y-y2= (x-x2).令y=0,得x=x2+ 将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入
9、并整理得：()将()代入()整理得所以，直线AE过定点(1,0).【互动探究】若本例(1)中抛物线方程为y2=2px(p0)，且弦AB的中点到直线x-2y=0的距离的最小值为 且 求抛物线方程.【解析】设AB中点C(x,y),则若中点C到直线x-2y=0的距离为d,则所以当y1+y2=2p时，d有最小值由题设得所以p=2,此时抛物线方程为y2=4x.【方法总结】动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C过定点问题,解法：引入参变量建立曲线C
10、的方程，再根据对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【变式备选】(2013南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)(1)求抛物线C的标准方程.(2)设M,N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO,NO与抛物线的交点分别为点A,B，求证：动直线AB恒过一个定点【解析】(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p0)，则 =1，p=2，所以抛物线C的标准方程为y2=4x(2)抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1,y1)，N(-1,y2)，其中y1y2=-4,则直线MO的方程为y=y1x，将y=y1x与y2=4x联立，解得A点
11、的坐标为 同理可得B点的坐标为则直线AB的方程为整理，得(y1+y2)y4x+4=0.由故动直线AB恒过一个定点(1，0) 热点考向 2 定值的探究与证明问题 【典例2】(2013北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F(2,0),且椭圆T过点E(2， ).ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M，N，P.(1)求椭圆T的方程.(2)设ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3，且ki0,i=1,2,3.若直线OM，ON，OP的斜率之和为0.求证： 为定值.【解题探究】(1)设椭圆T的方程为 (ab0),则a=_,b=_.(2)证明 为定值的两关键
12、点:表示:将 中的量k1,k2,k3用_表示；化简：利用约束条件：_化简得定值.2动点M,N,P的坐标kOM+kON+kOP=0【解析】(1)设椭圆T的方程为 (ab0),由题意知：左焦点为F(-2,0),所以2a=EF+EF=解得a= b=2.故椭圆T的方程为(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),M(s1,t1),N(s2,t2), P(s3,t3).方法一：由两式相减，得到(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以即同理所以又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0,所以方法二：设直线AB:y-t1=k1(x-s1),代入椭圆x2+2y2=
13、8,得到化简得以下同方法一.【方法总结】求解定值问题的两大途径(1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)证明定值：将问题转化为证明代数式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件正负项抵消或分子分母约分得定值.【变式训练】(2013天津模拟)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点(不同于点E)，直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N.(1)求抛物线方程及其焦点坐标.(2)已知O为原点，求证： 为定值.【解析】(1)将E(2,2)代入y2=2px,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,焦点
14、坐标为(2)设 M(xM,yM),N(xN,yN).方法一：因为直线l不经过点E，所以直线l一定有斜率.设直线l方程为y=k(x-2),与抛物线方程联立得到消去x,得：ky2-2y-4k=0，则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=直线AE的方程为:即令x=-2,得yM=同理可得：yN=又 =(-2,yM), =(-2,yN),所以方法二：设直线l方程为x=my+2,与抛物线方程联立得到消去x,得:y2-2my-4=0.则由根与系数的关系得：y1y2=-4,y1+y2=2m,直线AE的方程为:即 (x-2)+2,令x=-2,得同理可得：又 =(-2,yM), =(-2,yN),=4+
15、yMyN=4+热点考向 3 与圆锥曲线有关的最值(范围)问题【典例3】(1)(2013厦门模拟)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_.(2)(2013昆明模拟)直线y=kx-2与椭圆 相交于A，B两点，O为原点，在OA，OB上分别存在异于O点的M，N，使得O在以MN为直径的圆外，则直线斜率k的取值范围为_.(3)(2013徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E: (ab0)的离心率 A1,A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q.求直线OP的方程.求 的值.
