《弹性力学简明教程第四版徐芝纶第三章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学简明教程第四版徐芝纶第三章（134页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 位移分量的求出第四节 简支梁受均布荷载第五节 楔形体受重力和液体压力例题教学参考资料第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答第二节 矩形梁的纯弯曲习题的提示与答案第三章 平面问题的直角坐标解答1.当体力为常量，按应力函数 求解平面 应力问题时， 应满足31 逆解法和半逆解法 多项式解答按 求解 多连体中的位移单值条件。 (c) S = 上应力边界条件, A内相容方程第三章 平面问题的直角坐标解答对于单连体，(c)通常是自然满足的 。只须满足(a),(b)。由 求应力的公式是(d)第三章 平面问题的直角坐标解答 先找出满足 的解 2 .逆解法 先满足(a),再满足(b)。步骤:(e)逆解法
2、在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力， 代入(d), 求出第三章 平面问题的直角坐标解答从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。 逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。第三章 平面问题的直角坐标解答例1 一次式 =ax+by+c,对应于无体力，无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 例2 二次式 ，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c第三章 平面问题的直角坐标解答 例3逆解法设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？yxolh/2h/2( l h)第三章 平面问
3、题的直角坐标解答解：按逆解法。1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。2. 由 求出应力分量,第三章 平面问题的直角坐标解答。 3. 由边界形状和应力分量反推边界上的 面力。在主要边界（大边界） 上， 因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0，l的次要边界（小边界）上， 第三章 平面问题的直角坐标解答在x = 0,l 小边界上的面力 ，如下图(b) 所示，而其主矢量和主矩，如(c)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x = 0处受集中力F 作用的问题。第三章 平面问题的直角坐标解答FFMFl(b)(c)第三章 平
4、面问题的直角坐标解答 由应力(d)式，推测 的函数形式； 代入 ，解出 ；3.半逆解法 步骤：半逆解法 假设应力的函数形式 （根据受力情况 ，边界条件等）；第三章 平面问题的直角坐标解答 由式（d），求出应力；半逆解法 校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第三章 平面问题的直角坐标解答梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。 问题提出h/2h/2lyx( l h)oMM3-2 矩形梁的纯弯曲第三章 平面问题的直角坐标解答 由逆解法得出，可取 ，且满足 求应力 (a)求解步骤：本题是平
5、面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答 检验应力边界条件，原则是: 边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。 a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第三章 平面问题的直角坐标解答主要边界 从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界用两个积分的条件代替 第三章 平面问题的直角坐标解答当 时，即使在 边界上面力不同 于 的分布，其误差仅影响梁的两端部
6、分 上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解 (e)第三章 平面问题的直角坐标解答3-3 位移分量的求出在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出第三章 平面问题的直角坐标解答1. 由物理方程求形变,求形变第三章 平面问题的直角坐标解答2. 代入几何方程求位移,求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 对式(a)两边乘 ,积分得 对式(b)两边乘 ，积分得 求位移第三章 平面问题的直角坐标解答 再代入(c) , 并分开变量，上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移第三章 平面问题的直角坐标解答由此解出求
7、位移得出位移为3.待定的刚体位移分量 ，须由边界约束条件来确定。第三章 平面问题的直角坐标解答2.代入几何方程，积分求 ；归纳：从应力求位移的步骤：3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量1.由物理方程求出形变；第三章 平面问题的直角坐标解答纯弯曲问题的讨论：1. 弯应力 与材力相同。2. 铅直线的转角 故在任一 截面x 处，平面截面假设成立。3.纵向纤维的曲率 (常曲率)，同材力。故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。 第三章 平面问题的直角坐标解答简支梁 ，受均布荷载 及两端 支撑反力 。问题yxollh/2h/23-4 简支梁受均布荷载第三章 平面问题的直角坐标解答书中采用假设,半逆解法按
8、半逆解法求解。 假设应力分量。由材力第三章 平面问题的直角坐标解答 由应力分量推出应力函数的形式。由对 x 积分，对x再积分，(a)半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答 将 代入相容方程，求解 :相容方程对于任何 均应满足,故的系数均应等于0。由此得三个常微分方程,半逆解法第三章 平面问题的直角坐标解答式(b)中已略去 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法从而解出:第三章 平面问题的直角坐标解答对称性条件由于结构和荷载对称于轴， 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。 由 求应力。半逆解法在无体力下，应力公式如书中式( f ),(g)，(h)所示。第三章 平面问题的直角
9、坐标解答 考察边界条件。由此解出系数 A , B , C , D 。 主要边界 ，主要边界第三章 平面问题的直角坐标解答次要边界 x=l 上,次要边界由此解出H，K.另一次要边界(x= - l ) 的条件，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件:第三章 平面问题的直角坐标解答最后应力解答为：应力第三章 平面问题的直角坐标解答关于应力的量级:当 时, x l 同阶，y h 同阶。第一项 同阶,（与材力解同）;第二项 同阶,（弹力的修正项）。同阶,（与材力解同）。应力的量级同阶, （材力中不计）。第三章 平面问题的直角坐标解答当 时， 量级的值很小，可以不计。应力与材力解比较:最主要量级 ，和
10、次要量级 ，在材力中均已反映，且与弹力相同。最小量级 ，在材力中没有:当 时，仅占主项 的1/15 ( 6 %) ,应力比较第三章 平面问题的直角坐标解答弹力与材力的解法比较:应力比较弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理，但只影响小边界附近的局部区域)。材力在许多方面都作了近似处理，所以得出的是近似解答。第三章 平面问题的直角坐标解答平衡条件中，略去 作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 的内力平衡；几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；例如：在材力中边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。第三章
11、平面问题的直角坐标解答对于杆件，材力解法及解答具有足够的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求解，应采用弹力解法求解。第三章 平面问题的直角坐标解答设有楔形体， 左面垂直，顶角为，下端无限长，受 重力及齐顶液体压 力,oyxn 问题3-5 楔形体受重力及液体压力第三章 平面问题的直角坐标解答用半逆解法求解。应力 , 而应力的量纲只比高一次（L），应力 (x , y 一次式）,=即可假设应力为x , y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第三章 平面问题的直角坐标解答（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，（3） 满足相容方程（4）由 求应力，第三章 平面问题的直角坐标解答（5）考察边界条
12、件本题只有两个大 边界，均应严格满足应力边界条件:x=0 铅直面，解出解出第三章 平面问题的直角坐标解答斜边界上，须按一般的应力边界条件来表示，有第三章 平面问题的直角坐标解答其中由式（b)解出a、b,最后得应力解答,应力第三章 平面问题的直角坐标解答水平截面上的应力分布如图所示。第三章 平面问题的直角坐标解答楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答,分缝重力坝接近于平面应力问题，在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。重力坝规范规定的解法材料力学解法（重力法）。重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第三章 平面问题的直角坐标解答1 例题2 例题3 例题4例题8例题7例题6例题5例题 第三章 平面
13、问题的直角坐标解答例题1设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计， 如图 ，试用应力函数 求 解应力分量。第三章 平面问题的直角坐标解答图3-5y dyyxlh/2h/2o第三章 平面问题的直角坐标解答解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1. 将 代入相容方程，显然是满足的。2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量，第三章 平面问题的直角坐标解答3. 考察边界条件：主要边界 上应精确满足：第三章 平面问题的直角坐标解答在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的 边界条件代替。注意x=0是负x面，图中表示 了负x面上的 的正方向，由此得：第三章 平面问题的直角坐标解答第三章 平面问题的直角坐标解答由(a),(b) 解出最后一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件 下，是必然满足的，故不必再校核。第三章 平面问题的直角坐标解答代入应力公式，得第三章 平面问题的直角坐标解答例题2挡水墙的密度为 ，厚度 为b,如图,水的密度为 ，试求 应力分量。yox第三章 平面问题的直角坐标解答解：用半逆解法求解。1. 假设应力分量的函数形式。因为在 y=-b/2边界上， y=b/21. 边界上， ，所以可假设在区 2. 内 沿x
