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1、第四章连续群及其表示无限群可以分成两类分立的与连续的. 当群的元素的个数是 可数无穷时, 称此群是分立的, 而当其元素个数是不可数无穷时, 则 称之为连续的. 前面所讲的关于有限群的理论, 对分立无限群几乎都成立. 在处 理连续群时, 要做某些修正, 也要引入新的概念, 它们是连续群理论 与其它数学分支的汇合. 有限群理论是独立存在的, 连续群理论却广 泛地应用常微分方程、偏微分方程和拓扑学等理论. 4.1 拓扑群和李群 连续群的元素可有一组实参数a1, a2, , an所标明, 其中至少有 一个参数在某一区域上连续变化. 这组参数对标明群的所有元素应 该是必需的且足够. 即标明群的所有元素应
2、该不能以更少的数目. 令 连续参数的个数是r(1rn), 若此数是有限的, 则成连续群是有限 维的, 而r称为连续群的维数.例1. 所有实数的集合是一维连续群, 因为任一实数可由一个参数 取值于区间(, +)的x标明. 例2. 考虑如下形式的两个变量的齐次线性变换 x =a11x+a12y, y =a21x+a22y, 或者写成矢量形式 r=Ar, 其中detA=|aij|0. 使aij取满足上式的所有可能的实数值而得到的所有这种变换的集合 是一个群. 这是一个四参数的连续群, 称为二维线性群, 记作GL(2). 可以看出, 它同构于全体二阶非异矩阵乘法群. 例3. 考虑个变量的齐次线性变换(
3、上一例的推广):所有这种变换的集合是n2个参数的连续群, 称为n维线性群, 记作 GL(n). 此群同构于所有非异n阶矩阵的乘法群. 例4. 所有绕某个轴旋转的集合是一个一维连续群, 可以方便地把转角当参数, 在区间, 或0, 2上取值. 这个群记作SO(2). 例5. 绕通过三维空间中固定点的所有轴的旋转的全体是一个群, 其元素可由Euler角表征. 此群记作SO(3). 4.1.1 拓扑群由于群元素的连续性质, 需要在群中引入拓扑. 简单起见, 只讨论这样的群, 其元素可与r维实内积空间的某个子集 Sr的点建立一一对应的关系. 该子集将被称为参数空间. 令P(x)代表与群G元素x对应的Sr
4、中的点. 称P(x)是元素x的象. 考虑Sr中点P(x)的一个领域. 这是Sr中满足下列条件 |P P(x) |0, k的下限是0. k的上限受制于因子j+m k和j m k, 它等于两个整数j + m和j m中较小者.函数fjm很明显构成了2j+1维Hilbert空间L2j+1中一组2j+1个独立函 数. 注意到右边是(|u|2+|v|2)2j/(2j)!的二项式展开, 因而由于|u|2+|v|2在SU(2)的变换下是不变量, 故 也是不变量, 这 表明表示D(j)是幺正的. 利用Schur引理1的逆定理证明, 表示D(j)是不可约的. 也就是要 证明, 若矩阵P与所有D(j)(a, b)(
5、|a|2+|b|2=1)交换, 则P必为常数矩 阵. 求两种特殊情况下D(j)的矩阵. 选a=exp(i/2), b=0(是实数). 上页式中只有k=0的项不为零, 这给出若在一般表达式中令m=j, 可看到k的唯一可能值是零, 这给出若P与前面形式的所有矩阵D(j)交换, 这些矩阵都是对角的, 对角元 都不相等, P一定也是对角矩阵, Pik=piik. 考虑矩阵等式PD(j)(a,b) =D(j)(a,b)P的i行m列元素, 利用上式求得PjDjm(j)=Djm(j)pm. 因为 Djm(j)(a,b)不恒等于零, 从而pj=pm, 亦即P必为一常数矩阵. 可见, D(j)是一不可约表示.
6、事实上, D(j)是SO(2)群唯一的2j+1维不可约 表示. 此外, 因为对不同j值, 表示D(j)的维数不同, 故它们互不等价. SU(2)群对每一个整数n, 有且仅有一个不等价的n维不可约表示. 对D(j)的特征标, 先确定SU(2)的类结构. SU(2)群元素中参数 的实数部分相同者属于同一类. 计算SU(2)群一般元的本征值. 若 是幺正矩阵的本征值, 一定可推出满足二次方程 2(a+a*)+1=0.于是两个本征值是 1 = +( 2 4)1/2/2, 2 = ( 2 4)1/2/2. 其中= + *是实数. 由条件aa*+bb*=1显然有Re(a), 故2 2. 上式表明1 = 2
7、*. 还可看出12=1, 于是|1|=|2|=1. 有 cos(/2)=/2, sin(/2)=(1 2/4)1/2, 可看到两个本征值变作 1 =exp(i/2), 2 =exp(i/2). 因为2 2, 有 cos(/2) 和0 sin(/2) . 由于本征值只 依赖a的实数部分, SU(2)的Re(a)值相同的所有元素本征值将相同, 从而相互共轭. 区间0, 2上每一实值, 确定SU(2)的一个共轭类. 不可约表示D(j)中 所标志的共轭类特征标. 同一类中所有元素 的特征表相同, 显然可以选取所考虑的SU(2)中使a=exp(i/2),b=0 的元素R(a, b). 在D(j)中此元素
8、的矩阵已经求出. 此矩阵的迹给出所 考虑元素的特征标. 于是这与转动群SO(3)的特征标相似, 对SO(2)群, j可取非负整数也 可以取非负半整数. 而对SO(3)群, 只能取非负整数. 4.5.2SU(2)群到SO(3)群的同态考虑函数fjm, j=1的特殊 情况. 这时我们有三个函数:在SU(2)群的一般元素R(a, b)作用下它们这样变换: x1=R(a, b)x1= a2x1+abx2+b2x3, x2=R(a, b)x2= 2abx1+(aa bb)x2+2abx3, x3=R(a, b)x3= b2x1 abx2+a2x3.定义三个新变量 x=x1 x2,y= i(x1 +x3)
9、, z=x2.它们的逆变换是 x1=(x+iy)/2,x2=z,x3=(x+iy)/2. 带撇量之间的关系也是这样. 我们看到上面的变换变作注意到上式中所有系数都是实的. 此外, aa*+bb*=1, 可以证明 x 2+ y 2+ z 2= x2+ y2+ z2. 这样就成功地把行列式为1的2阶幺正 矩阵和行列式为1的3阶实正交矩阵联系起来, 后者对应于3维是矢量 空间中的一个纯转动, 因而是SO(3)群的一个元素. 现在来证明逆命题, 即SO(3)群的所有旋转与SU(2)中一个或多 个元素相联系. 任一具有欧拉角(, , )的旋转, 可以表作三个旋转 之积. 首先选a=exp(i/2), b
10、=0的一个幺正变换, 上式给出 x=x cos y sin, y =x sin + y cos, z =z, 即SU(2)的元素R(ei/2, 0), 对应于SO(3)群中绕子轴转角的旋转:同样, 选a=cos(/2), b=sin(/2), 我们看到将上两式用于R(, , ), 我们看到幺正变换对应于SO(3)中的旋转R(, , ): 现在必须检验SO(3)群与SU(2)群间的这种对应是同态还是同构. 由上上页已知SU(2)的每一幺正矩阵对应于SO(3)的唯一旋转. 要确 定的是SO(3)的每个旋转有多少个SU(2)中的矩阵与之对应. 由上式 注意到两个旋转R(0, 0, 0)和R(0, 2
11、, 0)在SO(3)中都代表恒等元, 对应两个幺正矩阵 和事实上, 在SO(3)中代表同一元素的运算R(, , )和R(, +2, g)对应于SU(2)中两个不同的幺正矩阵(相差一个符号). 于是存在 一个由SU(2)到SO(3)上的2对1的同态映射. 4.5.3由SU(2)的表示得来的SO(3)的表示 讨论SO(3)群的不可约 表示时, 实际上只求出了它们的特征标, 并没有得到球谐函数中的不 可约表示的全部矩阵D(l)(, , ). 现在可以用先前所生成的SU(2) 的不可约表示D(j)来求它们了. 因为已经证明SO(3)同态于SU(2), 故可由SU(2)的一个表示, 挑出其中对应于SO(
12、3)群的元素的矩阵,从而得到SO(3)的一个表示. 前面的式子表明, SU(2)中参数为 a = cos(/2)ei(+)/2, b = sin(/2)ei()/2. 2阶幺正矩阵对应SO(3)的元素R(, , ). 因而能这样得出SO(3) 群的一个表示: 把代表SU(2)群的元素R(a, b)的矩阵D(j)(a, b)与 SO(3)群的元R(, , )联系起来. 于是所要求的矩阵为注意到, SU(2)的元素(ei/2, 0)对应于SO(3)的元素R(, 0, 0). 因此 转动群SO(3)的元素的特征标可以由特出形式( = =0)得到的象, 因为R(0, 3, 0)与R(0, , 0)相同
13、. 我们暂且以C2代 表R(0, , 0). 若选择表示矩阵为j为整数时, 这些特征标与D(l)的特征标一致. j为半奇数时, SO(3)的 每个旋转是两个矩阵D(l)(, , )的象, 就是前面提到的2到1对应. 例如, 恒等元是下面两个矩阵的象和另一元素, 譬如绕y 轴转角( = , = = 0; R(0, , 0)是 和和则得到但通常, 若R和S是SO(3)的两个旋转, 为半奇数值时, 我们将有 D(j)(R)D(j)(S) = D(j)(RS). 这种表示叫做双值表示. 可以找到这种不确定的根源. 考虑SU(2)的两个元素R(a, b)和 R(a, b), 由矩阵元形式容易看出 Dmm
14、(j)(a, b)=(1)2jDmm(a, b)故在j为整数的不可约表示中, 元素R(a, b)和R(a, b)由同一矩阵表 示, 而当j为半整数时, 它们的矩阵相差一符号. 特别是当j=1/2时, 恰好得到矩阵群SU(2),当我们考虑SU(2)到SO(3)的同态时, 双值表示的符号不确定. 因而 可得结论: SU(2)的j为整数的表示D(j)是SO(3)的单值表示D(l), 而j 为半奇数的表示D(j)是SO(3)的双值表示. 考虑一个元素个数为SO(3)群的两倍的群, 可以消除符号不确定 的问题. 新群中, 绕任意轴转2角不同于恒等元, 但转4角是恒等元. 这样定义了一个新元素 , 代表转
15、2角. 于是所构造的群包含SO(3) 的所有旋转加上 与SO(3)群所有旋转的乘积. 显然应有: 对j的半奇数值, D(j)是新群的单值表示. 此群叫做SO(3)的双群, 记作SO(3). 它与SU(2)同构. 但SO(3)不是SO(3)的子群. 事实上, SO(3)的元现 在不再构成一个群了, 因为它们在乘法下不再封闭了. 如考虑SO(3) 的元Cn其n次幂不等于单位元, 而等于上面的E, 它不属于SO(3), 只 是(Cn)2n才等于SO(3)群的单位元(恒等元). 在物理学中, 只要我们处理的是有自旋的粒子或粒子体系, 这种 情况就会发生. 例如, 电子的轨道角动量是的整数倍, 而自旋角动 量是/2. 处理奇数个电子的体系时, 总角动量就是的半整数倍.众所周知, 在这种情况, 旋转2角后, 体系的波函数不回到原来的值, 而是改变一个符号; 仅当转4角时, 它才取原来的值. 用群论语言说, 这表示波函数对称性服从双群的不可约表示, 而不服从原来的对称 群的表示. 应该看到, SO(3)群存在双值表示, 是其双连通性的结果. 一般, 若G是k重连同的连续李群, 则它有单值, 双值, 三值, , k值表示. 若Cn代表绕任意轴的n次旋转, 并且是G的一个元素, 则(Cn
