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1、概率的求法与应用 陈 俊一、教学要求：1.教学目标（见教参）2.课标要求（1） 在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。（3）通过实例进一步丰富对概率的 认识，并能解决一些实际问题。2.课标课标 卷考试说明中的要求基本要求：在具体情境中了解概率的意义 略高要求：通过实例，进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率 较高要求：能利用概率解决一些实际问题 二、地位及作用承上启下：本章教材是在学生学习了事件与可能
2、性的基础上，进一步学习概率的求法与应用。是前面“事件与可能性”教材内容的延伸和深入，又为今后进一步学习概率以其相关知识（排列、组合求概率）打下基础，并且在日常生活中也会用到。主要内容：概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树状图法），利用频率估计概率。中心内容是体会随机观念和概率思想。能力培养：培养学生逻辑思维能力、分析解决实际问题的能力及数学应用的意识和辨证思想 。三、重难点重点：了解概率的意义，会运用列举法（包 括列表、画树状图）求概率和概率的简 单应用。概率是刻画随机现象发生的数量规律， 通过了解概率的意义，来理解现实世界中 随机现象的特点，从而认识现实生活中常
3、 见的概率的具体含义。难点：体会概率的数值含义和概率的应用。随机事件会出现哪些结果事先无法预 料，一些习惯性错误干扰着对具体事件发 生的可能性认识，可能性很抽象，难于想 到可以用数值表示，又再抽象为概率，就 更难体会。要经历“猜测结果进行实验 分析实验结果”的过程，建立正确地概率直 觉，从频率与概率的关系、频率的稳定性 体会概率的数值含义。难点的突破：现实生活中的概率问题，情境复杂，千变万化，难于用统一的概率模型求解，要根据实际问题的特点，类比抛掷、摸球、转盘等典型实验模型，突破难点。关键：了解概率意义的关键：在于从具体情境中体会概率的含义；运用列举法求概率的关键是：掌握列表、画树状图的方法列
4、出所有可能发生的结果，并判断每个结果发生的可能性都相等。用频率估计概率的关键是：通过实验获得事件发生的频率；用概率知识解决简单实际问题的关键是：认识问题的特征，类比相应的三大经典实验建立相应的概率模型。四、教学建议（一）理解概率的四种定义1.概率的古典定义一般地，如果在一次实验中，共有 （有 限）种可能的结果，并且它们发生的可能性 都相等，事件A包含其中的 种结果，那么 事件A发生的概率为 。用列举法求古典概率的方法：（1）列表法；（2）画树状图（1）列表的方法：适用于两个有序因素构成的 事件，列出所有可能发生的结果.如：掷A、B两 枚（或一枚掷两次）正多面体；有放回的摸两次 ，每次摸一个球；
5、转动A、B两个（或一个转动两 次）等分的转盘；或类似于上述实验的事件。（2）画树状图的方法：适用于两个或两个以上 因素（不论有序或无序）构成的事件，列出所 有可能发生的结果.树状图法是一种适应性比较广泛的方法， 能够用列表法解决的问题当然也能用树状图方 法来解决。如：掷三枚（或三次）正多面体；摸三个 （或每次摸一个，有放回的摸三次）球； 转动三（或三次）等分的转盘；或类似于 上述实验的事件。2. 概率的几何定义表示事件可能发生的点所在区域的面积 占所有等可能点所在区域面积的比值.注意：所有可能发生的结果有无穷多个 ，每个结果发生的可能性都相等.求几何概型的方法：几何法所有可能发生的点（结果）不
6、能一一列出 通过计算区域的面积求面积比值。3.概率的统计定义（实验概率）一般地，在大量重复实验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数附近，那 么这个常数就叫做事件A发生的概率，它表 示在重复实验中事件A发生的频率的稳定性 。4. 概率的描述定义表示事件A发生的可能性大小的数值从概率定义可知，概率是通过大量重复实验 中频率的稳定性得到的一个01的常数，它反映 了事件发生的可能性的大小。需要注意，概率是 针对大量重复实验而言的，大量重复实验反映的 规律并非意味着在每一次实验中一定存在。从这 个意义上说，即使某事件发生的概率非常大，但 在一次实验中也有可能不发生；即使事件发生的 概率非常小，但
7、在一次实验中也可能发生。求实验概率的方法：频率估计法一个重复实验获得事件的一个频 率值,就直接用这个频率作为概率的估计 值；几个重复实验获得一组频率数据,就 用频率的平均值作为概率的估计值。（二）教师在渗透频率和概率的关系时，需要 注意两个问题一是“当试验次数很大时，频率稳定在概率 附近”并不意味着试验次数越大，频率就越为靠 近理论概率。有可能出现这样的情形：增加了 几次试验，试验数据和理论概率的差距反而扩 大了；二是在利用树状图和列表法求概率时， 其使用前提必须是各种情况出现的可能性要相 同，即等可能性是我们求理论概率的前提。（三）教学中要使学生能领会概率概念中 蕴涵的辨证思想人们在长期的实
8、践中发现，在随机现象大量重复 中，由于众多微小的偶然因素的影响，每次测得的结 果虽不尽相同（具有偶然性），但大量重复测得结果 的平均值却几乎必然地稳定于某一定数。这个规律称 为大数法则，亦称大数定律。在理解概率的定义时， 有一点必须注意：即使某事件发生的概率是1/m，也 并不意味m次随机实验，事件必然会发生1次，尽管概 率值本身是精确的。这个事实说明：必然性与偶然性 （即随机性）是对立统一的概念，偶然性蕴涵内在必 然的规律；反过来被断定为必然的东西，是由纯粹的 偶然性构成的。注意让学生理解概率的内涵，概率是针 对大量重复实验而言的，大量重复实验反映 的规律并非意味着在每一次实验中一定存在 。从
9、这个意义上说，即使某一事件发生的概 率非常大，但在一次实验中也有可能不发生 ；即使一事件发生的概率非常小，但在一次 实验中也可能发生，比如买奖券中奖。（四）注意揭示概率与频率的联系与区别 初学统计与概率的学生常常无法理解概率与频率 的内在联系与区别，有时会把两者相混淆。教师应该 向学生指明，从数学角度来说，统计与概率这两个学 科是互为依托，相互作用的。概率这一概念是建立在 频率这一统计量的稳定性基础之上的，而统计也离不 开概率的理论支撑。相同条件下，一个事件发生的概 率是一个常数，是由事件固有的属性决定的，但是如 果用概率实验的方法，频率会随着样本空间的变化而 变化，但随着样本的增加，频率会越
10、来越集中于一个 常数，这个数就是概率。所以用频率估计出来的概率 通常是不精确的，要有误差。这就是所说的“实验概 率稳定于理论概率而又不等于理论概率”。（五）注意把握好教学难度 必须注意的是，本学段的概率内容还处在 一个比较初级的水平，就课程标准来看， 这个阶段的学生并没有学习概率中的乘法，所 以他们还只能用列表法和树形图法计算一些简 单的概率问题。因此，如果问题超过3步的难 度，学生完成起来就会非常吃力。所以一般来 说，教学中不宜将问题的难度超过3步为了首先让学生通过具体的实验操作获得 一定的活动经验，促进对概率意义的理解与掌 握，教科书在P165页设置了一个投掷瓶盖的实 验，为学生提供一个体
11、验概率实验的机会。由 于在这个实验中需要获得的投掷次数相对较多 ，所以这里就需要发动全体学生积极参与，动 手实验，靠集体的力量快速地获得实验频率， 圆满地完成实验。（六）注意引导学生积极参与实验活动,在 实验中体会频率的稳定性,感受实验频率与 理论概率之间的关系并形成对概率的全面理 解,发展学生初步的辨证思维能力在学习用频率估计概率这部分内容时，一方面 要鼓励学生亲自动手，集体合作，这主要是针对一 些比较简单的实验；另一方面也鼓励学生采用模拟 方法进行实验，特别是利用计算机或计算器进行模 拟实验。我们知道，为了使用频率估计的概率尽可 能地准确就需要进行大量的重复实验，这样的实验 是极其费时费力
12、的，所以应该鼓励学生使用现代信 息技术，在学生掌握模拟实验时，重要的不仅是获 得最终的结果，而是针对一个现实问题，让学生提 出一种切实可行的进行模拟实验的策略。（七）鼓励学生使用计算器等现代化 信息技术手段进行概率教学（八）注意选取丰富、科学且真实的素 材，充分体现概率与生活的密切联系概率与现实生活的联系越来越紧密，这一 领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸 引力的，因此，教学时要注意联系实际问题， 除了教科书所提供的素材，教师还可以和学生 一起挖掘身边的素材进行教学，使学生在解决 实际问题的过程中，体会随机的思想，培养概 率思维，同时也使学生感受到概率与实际生活 的密切联系，体会概率在采
13、取决策解决现实问 题中的作用，调动学生学习统计概率知识的积 极性。五、疑点解释1.所有可能发生的“情况”与“结果” 例1：同时抛掷A、B两枚硬币,落地后两枚硬 币面朝上的：所有可能出现的情况有三种：两正 一正一反 两反所有可能出现的结果有四个：（ A, B ） （ A, B ） （ A, B ） （ A, B ）2.有序结果与无序结果,相同结果与不同结果,等 可能结果与非等可能结果 序:时间、位置、属性例2：从A、B两枚硬币中,随意取一枚上抛,再 取剩余一枚上抛,落地后两枚硬币面朝上的所有 可能出现的结果是:（有序） （ A , B ） （ A , B ） （ A , B ） （ A , B
14、） （ B , A） （ B , A ） （ B , A ） （ B , A ） 例3：从1,2,5这3个数字中随意同时取出2个数字。（1）组成二位数的结果,（2）相加所得和的结果.（无序）3.同时摸出与先后摸出；无放回摸出与有放回 摸出教材P161 例2和例34.相同事件概率不等与不同事件概率相等（等 概率事件）教材P161 例2（改为先后摸出)5.给出条件相同与不同,随机过程相同与不同6.必然中的偶然,偶然中的必然例4：在雅典奥运会女排决赛中,俄罗斯队2:0领 先的情况下,后三局比赛中国队有没有可能夺得金 牌?有可能,可能性（概率）有多大? 7.可能与现实,可能与一定,随机事件的发生在事（
15、 或实验）前、事（或实验）后的说法8.中奖率、命中率、发芽率与概率中奖率是指中奖券数占全部奖券数的百分比；（ 统计概念，现实的）中奖概率是指中奖可能性的大 小.（未发生数量关系规律）六、主要习题1.了解概率含义及其相互关系的问题;2.列出所有可能发生的结果的问题;3.求事件的概率问题;4.应用问题;5.决策问题与游戏公平性的判断问题。举一个有趣的小例子：给你一张美女照片 ，让你猜猜她是模特还是售货员？很多人 都会猜前者。实际上，模特的数量比售货 员的数量要少得多，所以，从概率上说这 种判断是不明智的。 概率趣闻：有笑话说全世界的数学家都不会去买彩 票，因为他们知道，在买彩票的路上被 汽车撞死的
16、概率远高于中大奖的概率。 概率教学的困难对随机观念，学生虽具有一定的生活经验 ，但长期数学教学使其已养成了确定性的习惯 。因而，随机观念的养成是长期的、艰难的。要克服我们习惯的一种确定性思维方式， 对什么事情都习惯于从理论上进行分析，而缺 乏主动实践探索的意识。让学生相信它是科学让学生感到它有用让学生理解它的内容与思想方法七、典型例题例1 下面是两个可以自由转动的转盘 ,每个转盘被分成面积相等的几个扇形.同 时转动两个转盘进行“配紫色”游戏,配得 紫色的概率是多少?例2 用如图所示的两个转盘做游戏,同时转动 两个转盘各一次.若两次数字和为奇数, 则小明胜；若和为偶数,则小亮胜.这个游戏 对双方公平吗?求和 34567 45678 56789 678910 7891011例6 1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一 个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出 30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部 赌注。在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2 局，他的朋友赢了1局。这时候
