《计算机图形学课件：第8章曲线和曲面》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算机图形学课件：第8章曲线和曲面（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8章 曲线和曲面如何由已知的离散点来构造出一条光滑曲线。可用拟合或逼近两种方法。曲线的拟合用一组型值点来指定曲线的形状，曲线通过型值 点。型值点之间的点通过插值得到。即利用已知点重构连续的曲线函数，再由函数 计算出任意点的坐标值。在已知点处计算的坐标 值不变-拟合函数。曲线的逼近用一组控制点来指定曲线的形状，曲线不必通 过控制点。三次样条给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线： 矩阵形式：自然三次样条通过给定的n+1个型值点构造一条三次参数样条曲线，若要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，则这样的曲线称为自然三次样条曲线。对于拟合n+1个型值点，共有n
2、个曲线段方程， 4 n个系数需确定。对于每一个内点Pi(i=1,2,3,.,n-1),有4个边 界条件：Pi点两侧的曲线段在Pi点处有相同的一阶 及二阶导数，且两条曲线段都通过Pi点，这样得到 4（n-1)个方程； 由P0点和Pn点得到两个方程；其 余两个方程可由各种方法得到，如：设P0点和Pn点处的二阶导数为0增加两个型值点P-1和Pn+1给定P0点和Pn点的一阶导数值三次Hermite样条假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线： 推导：求一阶导数得：将边界条件代入上两式得：H
3、ermite 矩阵Hermite 几何矢量三次Hermite样条曲线的方程为：通常将TMk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）： Bezier曲线Bezier曲线的定义由一组控制多边形折线顶点唯一地定义的曲线。只有第一个和最后一个顶点在曲线上。注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。 Bernstein基函数一次Bezier曲线(n=1)二次Bezier曲线(n=2)三次Bezier曲线(n=3)三次Bezier函数的矩阵形式：Bezier曲线的性质1端点2一阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为：3二阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为：4对称性：颠倒顶点顺序，形状不变，但方向相 反5凸包性：曲线落在凸包中6几何不变性形状只与顶点的相对位置有关，与坐标系无关7变差减少性：交点（曲线）=交点（多边形）8控制顶点变化对曲线形状的影响：近点影响大。Bezier曲线的生成1绘图一段Bezier曲线2Bezier曲线的拼接问题的提出：如何保证连接处具有G1和G2连续性。在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性为实现G1连续，则有：亦即：P0P1P2P3(Q0)Q1Q2Q3在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性：
