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1、第6章 板的弯曲6.1 概 述本章介绍弹性板弯曲的有限单元法，对于薄板小挠 度问题，它的变形由挠度所确定，因此可取挠度和 它的若干阶导数作为结点参数建立平板单元 。薄板 弯曲单元类型众多，本章介绍一个矩形单元和一个 三角形单元。此外，本章还介绍一种适合厚板问题 的四边形通用单元，它考虑横向剪切变形的影响， 可以适用于中厚板和薄板，具有较好的性能。平板：分薄板和厚板。载荷作用在垂直于板面的方 向 。对于薄板板小挠度问题，它的变形完全由横向 变形确定；对于薄板大挠度问题，则属于几何非线 性问题。对于厚板，应考虑横向剪切变形的影响。与平面应力问题不同， 薄板弯曲问题是具有图示 几何特征的结构在横向荷
2、 载作用下的分析。xyzuvw中面弹性薄板基本概念所谓薄板是指板厚比板最小尺 寸b在如下范围的平板平分厚度的平面称中面。1、薄板理论 克希霍夫(G.kirchhoff)基本假设 （1）薄板中面法线变形后仍保持为直线。由此，板中面内 剪应变为零，即 。 （2）忽略板中面的法向应力分量，且不计其引起的应变。 （3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不 变形，当 。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且 全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。 基本方程 （1）位移：由假设（1）、（3），有1、薄板理论 (2)应变由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考 虑三个分量。根据几何方程，应
3、变可表示为形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭 率。chi应力板应力分布图内力：板单位宽度上 弯矩Mx 、 My和 Mxy ， 为应力分量在板截面上 的合力矩 ：弹性矩阵薄板弯曲问题中的弹性矩阵 Df 内力矩表示薄板应力的公式思考题：写出正交各向异性板的弹性矩阵6.2 矩形薄板单元结点位移1、结点位移与结点力 结点力xy zw3y3x3F1My1Mx1 1243正负号按如下规定：对于挠度w和与它对应的结 点力Fz以沿z轴的正向为正；对于转角x,y和与 它们对应的结点力矩Mx,My则按右手定则标出的矢 量沿坐标轴正方向为正。 xy zw3y3x3F1My1Mx1 124m 单元结点位移
4、列阵及结点力列阵 2、位移模式 矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分 量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原 则，取：1-3项刚体位移4-6项常应变四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率 同阶次。利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数 ，显然十分麻烦。试凑形函数N1 利用所有点N1的导数为零条件，经推导,可得考虑到挠度是非完全四次式，为使自动满足其 它点为零N1(j)=0 ， j=2,3,4。可设由形函数性质，对N1有: N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4 N1对x，y的偏导数在各结点 处均为零。xyzw3y3x3Q1My1Mx1 1243练习： 试凑形函
5、数Nx1？ 由形函数性质，对Nx1有:Nx1(i)=0，i=1,2,3,4 Nx1 对x，y（本点除外）的偏导数在各结点均为零。最后利用本点1，确定a2=b/8， 代回得整理得位移函数式中形函数i=1,2,3,41） 相邻单元公共边挠度：位移的非完全协调性证明：结点位移协调：代入可以验证位移满足协调条件：2） 相邻单元公共边切向转角：3） 相邻单元公共边法向转角：该转角的确定包含了单元全部结 点位移参数，由于非公共边上结 点位移的协调关系不能保证，因 此一般综上所述，本节构造的位移场不能完全满足收敛的协调性 准则，具体为挠度及切向转角跨单元协调，法向转角跨单 元不协调，因此该单元不是完全协调元
6、。3、单元应变3、单元应力4、内力矩 B去掉 z 得 形变矩阵BS分块矩阵形式 5、单元刚度矩阵基本公式 子矩阵为 式中其中D为薄板刚度 6、等效结点力板单元受横向均布载荷p作用，则 等效结点力为 例6-1 受中心集中力的四边支承板的计算结果 (边长为1，厚度为0.01，弹模为1，波松比为0.3) 单元数 （1/4板）四边固定板中心挠度 wD/PL2边中点弯矩 M/P220.00614-0.1178440.00580-0.1233660.00571-0.1245理论解0.00560-0.12576.3 薄板三角形单元1、位移模式三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应 用。单元的结点位移仍然
7、为结点处的挠度wi和绕x ，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。三角形单元 位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式 ，则有10个参数: 若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。 无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐 标下得以解决。 对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以 下项：Li Lj Lm及其一阶导数在三个结点为零， 对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二 次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：采用“”组合不行将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得 ：a1=wi
8、 ， a2=wj， a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于 a4a9的方程，求解后可得a4a9：最后，待定常数a1a9代入位移模式，整理后得：将w,Lii和w,Lji变换成xi、 yi，从而得到相应于xi、 yi的形函数Nxi、 Nyi利用：利用求得位移函数，可以得到应变列阵和相应的 应变矩阵B，进一步可得到形变列阵和相应的 形变矩阵B。四边将简支板的中心挠度系数单元数 （1/4板）板中心挠度wD/qL4220.004249440.004153880.004098解析解0.004042 有限元大于解析解，原因是单元为非完全
9、协调单元。6.4 考虑横向剪切影响的平板弯曲单元在薄板单元中，构造协调单元的困难在于单元 间要求斜率的连续性。如果放弃薄板理论的直法 线假设，考虑横向剪切的影响，有可能绕过这一 困难。假设：中面法线变形后仍为直线，但绕x、 y轴转动了x、y.。上述假定基于汉盖理论。根据该假定，则板 内任意一点的位移分量具有如下形式：增加自由：扭率或曲率增加边中结点或限制。代入几何方程，应变矩阵：应力矩阵弹性矩阵 平板的变形由中面挠度w和法线绕x、y轴的转角x、y.确 定。每个结结点取它们们作为为自由度，采用8结结点平板 单单元。可以参照8结结点等参单单元。 中面上任意点的挠挠度和转转角可以表示为为： 由此可得位移模式应变分量 应力分量 内力计算 单元刚度矩阵等效结点荷载：设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷 载为例：承受均布荷载q的方板和板中心处受集中荷载 P的方板，四边固定和简支。4X4网格，挠度？h/L有限元 厚板薄板 0.010.0443 80.04439 0.044370.10.0462 80.04632 0.044370.20.0520 20.05217 0.044370.30.0616 00.06192 0.044370.40.0750 00.07557 0.04437四边简支板
