《2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第10章圆锥曲线-5直线与圆锥曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013-2017高考数学(理)真题分类汇编第10章圆锥曲线-5直线与圆锥曲线（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、PF1AQPxyOA第 5 节 直线与圆锥曲线题型 124 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2013 重庆理 21）如图，椭圆的中心为原点，长轴在 轴上，离心率，过左焦点作 轴的Ox2 2e 1Fx垂线交椭圆于两点，.A A，4AA （1）求该椭圆的标准方程；（2）取垂直于 轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，xPP，PP，Q使椭圆上的其余点均在圆外.若，求圆的标准方程.QPQP QQ2(2013 湖南理 21）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同的直线，2:2(0)E xpy pF12,k k12, l l且，相交于点，相交于点.以为直径的122kk1lE与AB，2lE与CD，AB
2、CD，圆，圆（为圆心）的公共弦所在的直线记为 .MNMN，l（1）若，证明；120,0kk22FM FNP A（2）若点到直线 的距离的最小值为，求抛物线的方程.Ml7 5 5E3.（2013 江西理 20）如图，椭圆经过点，离心率，直线 的方程为2222+=1( 0)xyCa bab：31,2P1=2el=4x (1) 求椭圆的方程；C(2) 是经过右焦点的任一弦（不经过点） ，设直线与直线 相交于点，ABFPABlM记 的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若,PA PB PM123, ,k k k123+ =k kk存在，求的值；若不存在，说明理由4.（2014 辽宁理 10）已知点在抛物
3、线：的准线上，过点的直线2,3A C22ypxA与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）.CBCFBFA B C D1 22 33 44 35.（2014 福建理 19） （本小题满分 13 分）已知双曲线的两条渐近线分别为，2222:10,0xyEabab1:2lyx.2:2lyx （1）求双曲线的离心率；E（2）如图所示，为坐标原点，动直线 分别交直线于两点Ol21,llBA,（分别在第一，四象限） ，且的面积恒为 ，试探究：是否存在总与直BA,OAB8线 有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理lEE由.6.（2014 天津理 18） （本小题
4、满分 13 分）设椭圆的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已22221xy ab0ab12,F FAB知.123 2ABFF=（1）求椭圆的离心率；（2）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点PPB1F的直线 与该圆相切. 求直线 的斜率.Oll7.（2014 湖北理 21） （满分 14 分）在平面直角坐标系中，点到点的距离比xOyM1,0F它到轴的距离多 ，记点的轨迹为.y1MCxyOA1ll2lB（1）求轨迹为的方程；C（2）设斜率为 的直线 过定点.求直线 与轨迹恰好有一个公共点，两个公共kl2,1P lC点，三个公共点时 的相应取值范围.k8.（2015 北京理
5、 19）已知椭圆的离心率为，点和2222:10xyCabab2 20,1P点都在椭圆上，直线交 轴于点.,0A m nm CPAxM（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用， 表） ；CMmn（2）设为原点，点与点关于 轴对称，直线交 轴于点.问： 轴上是否存OBAxPBxNy在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.QOQMONQ Q8. 解析解析 （1）因为，所以，2 2cea2212bea又点在椭圆：上，则，0,1PC222210xyabab1b 2a 因此椭圆的方程为，直线的方程：，C2 212xyPA11nyxm令，可得，所以点的坐标是.0y 1mxnM,01m n（2）点与关
6、于 轴对称，所以，直线的方程：，BAx,B mnPB11nyxm 令，所以可得，则，因为，0y 1mxn,01mNnOQMONQ 所以，所以，即，tantanOQMONQOMOQ OQON2OQOM ON因为，又点在椭圆上，2222111mmmOQOM ONnnn,0A m nm C所以，即，所以，得.2 212mn2 212mn22222mOQm0,2Q9.（2015 福建理 18）已知椭圆过点，且离心2222:10xyEabab0,2率2 2e (1)求椭圆的方程； E(2)设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段:1l xmymREAB9 4G, 0为AB直径的圆的位置关系，并说明理由9.分
7、析分析 本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想解析解析 解法一解法一：（1）由已知得，解得，22222 2bc a abc 222abc 所以椭圆的方程为E22 142xy（2）设点，的中点为由，11,A x y22,B xyAB00,H x y221142xmyxy得，所以，222230mymy1222 2myym1223 2y ym 从而，022mym所以，22 22222 00000095525144216GHxymyymymyyxOGBA24AB2222 121212144myyxxyy，
8、22 1212144myyy y22 0121myy y故2 22 01252514216ABGHmymy y，所以 2222223 1525172021622162mmm mmm2ABGH 故点在以为直径的圆外9,04GAB解法二解法二：（1）同解法一（2）设点，则，11,A x y22,B xy119,4GAxy 229,4GBxy 由，得，221142xmyxy222230mymy所以，1222 2myym1223 2y ym 从而121299 44GA GBxxy y A121255 44mymyy y，2 12125251416my ym yy2222531252 2216mmmm2
9、21720162m m所以又，不共线，所以为锐角cos,0GA GB GA GB AGB故点在以为直径的圆外9,04GAB10.（2015 全国 I 理 20）在直角坐标系中，曲线与直线 xOy2 :4xC y :0l ykxa a交于，两点.MN（1）当时，分别求在点和处的切线方程；0k CMN（2）轴上是否存在点，使得当 变动时，总有？说明理由.yPkOPMOPN 10.解析解析 （1）由题意知，时，联立，解得，0k 24yaxy2,Ma a2,Na a又，在点处，切线方程为，即，2xy MMka2yaa xa0axya在点处，切线方程为，即NNka 2yaa xa 0axya故所求切线方
10、程为和0axya0axya（2）存在符合题意的点，证明如下：设点为符合题意的点，直线，的斜率分别为P0,b11,M x y22,N xyPMPN，联立方程，得，故，1k2k24ykxaxy2440xkxa124xxk1 24x xa 从而12 12 12ybybkkxx1212122kx xabxx x xk aba当时，有，则直线与直线的倾斜角互补，ba 120kkPMPN故，所以点符合题意OPMOPN 0,Pa11.（2015 天津理 19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，2222+=10xyabab,0Fc-3 3点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为 ，MFM2 22+4bx
11、y c.4 3=3FM（1）求直线的斜率；FM（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率PFP2OPO的取值范围.11分析分析 (1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆, ,a b cFM()yk xc心到直线的距离，由勾股定理可求斜率 的值； (2)由(1)设椭圆方程为，k2222132xy cc直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出 ，从而可求椭圆方程；M4 3 3FM c(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出 的FP(1)yt x226223(1)xtxx范围，即可求直线的斜率的取值范围.OP解析解析 (1)由已知有，又由，可
12、得，221 3c a222abc223ac222bc设直线的斜率为，则直线的方程为，FM(0)k k FM()yk xc由已知有，解得.2222221kccbk3 3k (2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，2222132xyccFM()yk xc消去，整理得，解得或，因为点在第一像限，y223250xcxc5 3xc xcM可得的坐标为，由，解得，M2 3,3cc 222 34 3()033FMccc1c 所以椭圆方程为.22 132xy(3)设点的坐标为，直线的斜率为 ，得，即，P( , )x yFPt1ytx(1)yt x(1)x 与椭圆方程联立，消去，22(1)132
13、yt xxyy整理得，又由已知，得，22223 (1)6xtx226223(1)xtx解得或，312x 10x 设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，OPmymx(0)ymx x整理可得.2 222 3mx当时，有，因此，于是，3, 12x (1)0yt x0m 222 3mx得；2 2 3,33m 当时，有，因此，于是，1,0x (1)0yt x0m 222 3mx 得2 3,3m 综上所述，直线的斜率的取值范围是.OP2 32 2 3,333 12.（2016 四川理 20）已知椭圆E的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l yx 与椭圆E有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E的方程及点T的坐标；（2）设O是坐标原点，直线l平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得2PTPAPB，并求的值.12.解析解析 (1)由已知，2ab，则椭圆E的方程为222212xybb.有方程组22221,2 3,xy bb yx 得223121820xxb.方程的判别式为2=243b，由0，得2=3b，此方程的解为=2x，所以椭圆E的方程为22 163
