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1、F三重积分的概念 F化三重积分为累次积分 F三重积分换元法5 5 三重积分三重积分Date1问题的提出 设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )求立体 V 的质量 M为了求 V 的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为一、三重积分的概念Date2其次在每个小块 Vi 上任取一点则 Vi 的质量然后对每个小块 Vi 的质量求和：最后，取极限其中Date3定义 1设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的
2、体积记为的有界区域 V 上的有界函数, 把 V 任意地分成 n 个小记在每个小块 Vi 上任取一点若极限存在，则称 f ( x, y, z ) 在 V 上可积，并称此极限为f ( x, y, z ) 在 V 上的三重积分，记为或Date4三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.例如 V 的体积Date5设 f ( x, y, z ) 在长方体上连续，则二、化三重积分为累次积分Date6设则Date7其中V 为三个坐标例. 计算 所围成的闭区域 .解面及平面Date8例1计算其中 V 为由平面 x = 1, x = 2, z = 0y = x, z = y 所围的区域.解Date9若 V
3、 可以表示为：则三重积分可采用先在区域 Dz 上计算二重积分，再计算一个定积分的方法来计算Date10例. 计算 解: 其中 V 是椭球体Date11例3计算其中 V 是椭球体解Date12三、三重积分换元法Date13Date141、柱面坐标变换坐标面分别为圆柱面半平面垂直于轴 z 的平面Date15Date16Date17其中 V 为由例. 计算解: 作柱面坐标变换及平面柱面所围成半圆柱体.Date18坐标面分别为球面半平面锥面2. 球坐标变换Date19Date20例. 计算 解所围立体.其中 V 为锥面与球面在球面坐标系下Date21例. 计算 解所围立体.其中 V 为锥面与平面Dat
4、e22解Date23解Date24若平面区域 D 关于 x 轴对称，则下列积分的值为零若平面区域 D 关于 y 轴对称，则下列积分的值为零例如，若 D 是以原点为圆心的圆，则进一步，对于变量的奇、偶函数，可得到与定积分类似的性质. Date25若空间区域 V 关于 xy 平面对称，则有：若空间区域 V 关于 xz 平面对称，则有：若空间区域 V 关于 yz 平面对称，则有：例如，若 V 是以原点为球心的球体，则Date26立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 V 的立体的体积为Date27例4 求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中解立体的体积为Date28例5 求其中 V 为由与所确定的区域.解作广义球坐标变换于是Date29
