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1、 几代习题（第一二章）几代习题（第一二章） 王小王小 六六习题一(B) 9、10、11 两种思路习题解析习题解析第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 思路一 化成阶梯形 根据非零行数讨论(Gauss消元法)思路二 看系数行列式是否为0，前提是n 个方程n个未知元(Cramer法则)习题一(B) 9 思路一思路一13 1 0 32 3 -1 -1 4 13 1 0 0 -7 0 -1 0 0 +1 -1+1 0+1 = 0-1 0-1 = 0唯一解无解无穷多解习题解析习题解析第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 习题一(B) 9 思路二思路二1
2、3 1 32 3 -1 4 习题解析习题解析第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 D = = -7(+1)D 0D = 0由Cramer 法则， 有唯一解； 求解可用Cramer 法则， 也可 用Gauss 消元法 =-1Gauss 消元法总总 结结Ax=b (b)Ax= 一定有解|A| 0 有唯一解习题解析习题解析第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 |A| = 0 有无穷多解|A| 0 有唯一解|A| = 0 无解或有无穷多解A 是方阵思考题11 1 1a b c da2 b2 c2 d2a4 b4 c4 d4 1 计算11 1 1 1
3、a b c d xa2 b2 c2 d2 x2 a3 b3 c3 d3 x3a4 b4 c4 d4 x4 2 已知a1 a2 a3 a4a2 a2 a4 a5a3 a2 a5 a6a4 a2 a6 a7 . 计算A13 +A23 +A33 +A43 .思考题a1 a2 1 a4a2 a2 1 a5a3 a2 1 a6a4 a2 1 a7 =A13 +A23 +A33 +A43关于作业习题二(B)2. 2A + 3X = B = X = (B - 2A) 1 36(3). A= 1 0 10 0 01 00 1=+:= E + BAn = (E+B)n =En+Cn1En-1B+Cn2En-2B
4、2 + +CnnBn注意到 EB=BE .8. B = (A+AT)/2, C=(A - AT)/2.存在性、唯一性需要表达出来 9. 法一： 拆分列的方法法二：C = A10 1 -1 1 10 2 -17. f(A) = A2 + 3A 2E E11. 注意 |kA|=kn|A|12. 反证法13. xy=xn = y=xn-1 ? (此题结论可直接使用)14. AX=B = X=A-1B； AXB=C = X=A-1CB-1 .10. 不建议用待定系数法(1) A(A+E)=2EA A+E=E 2 (2) (A+3E)(A-2E)=-4E (A+3E)A-2E=E -4 (3) (A+k
5、E)(A+(1-k)E)=(2+k-k2)E (A+kE)A+(1-k)E=E (2+k-k2)15. 已知 A2+A-2E=O14. (3) AXB = C = X=A-1CB-1 1. 170页的39题；AX = B A(x y) = (b1 b2) Ax=b1, Ay = b22. 设A和B是n阶方阵，若 Ax=Bx 对任意的 列向量x成立，则能得到什么结论？取一些特殊的向量x = A=B思考Page 87页第18题：可直接使用结论A1A2A1A2-1=-1 -1第二章第二章 矩阵矩阵 2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩 d -b-c a注意对于二阶方阵a bc dA=当 |A|= ad-
6、bc 0 时， A-1 =1 ad-bc19题: 结论可记住并可直接使用21题：A=PBP-1 AP=PB-1 =O A B OO B-1 A-1 OAP=A(x,Ax,A2x) =(Ax,A2x,A3x) =(Ax, A2x, 3Ax-2A2x)已知 P=(x,Ax,A2x).=(x,Ax,A2x)01003-200188页23题：方法一A 初等变换1 -2 3k 0 2k-2 3k-3 0 0 -3(k+2)(k- 1):=B讨论：k=1, k= -2, 其余的情形22题： 学会通过将矩阵化为行阶梯形矩阵求秩的 方法，建议用行变换，虽然列变换也可以注：r3-kr1中的k可以为0，不必讨论8
7、8页23题：方法二 |A| = -6(k-1)2(k+2)讨论 |A|0, r(A)=3; |A|=0, 88页25题：B=P(1,3)AAB-1 =AA-1P-1(1,3) =P-1(1,3) =P(1,3)总结：n阶方阵A可逆 存在B使得AB=BA= E存在B使得AB =E (BA= E)|A| 0 Ax = 0 只有零解(Ax=b有唯一解) r(Ar(A) = n) = n A A E E ( (等价记号最好用等价记号最好用) )A A可以写成若干个初等矩阵的乘积可以写成若干个初等矩阵的乘积 (最好用)88页第26题 （ A, E ） （ E, A-1 ）行变换88页第27题 X(A-2
8、E)=B = X=B(A-2E)-1 如何计算 (A-2E)-1 ？(A-2E，E)行变换(E， (A-2E)-1)88页27题：X(A-2E)=BA-2EB初等列变换 EB(A-2E)-1 或者将方程组化为(A-2E)TXT=BT( (A-2E)T, BT )初等行变换( E, XT )注意，不要轻易注意，不要轻易 X X-1-1X=B(A-2E)-188页28题( 找班长)对对mm n n矩阵的分类矩阵的分类秩为 0,1,2,minm,n等价于 Ei O O O( i=0,1,2,minm,n )有事找班长Er O O O= M1+M2+MrMi=010第i行第i列Er O O OA =
9、P Q =P(M1+M2+Mr) Q=PM1 Q +PM2 Q +PMrQ88页28题( 找班长)88页29题(找班长)(1) AX=Es有解 =r(A) r(AX) = sr(A) s, n = r(A)=s(2) r(A)=s = A=PEsnQ(s ) 求解AX=Es 等价于求解 PEsnQX=Es(s ) EsnQX=P-1EsEs OQX=P-1QX =P-1 O, X =Q-1P-1 O(s )A=PEnnQ(r )Enn(r )2= Enn(r )Enn(r )Q-1 = Q Enn(r )QQ-12A= P Q-1EnnQ(r )QPC思考1：给定一个n n矩阵A,一定存在一
10、个可逆阵P和一个矩阵C，使得A = PC, 且 C2 =C.思考2：( (满秩分解满秩分解) )设矩阵Amn 的秩为r，则 存在 Bmr和 Crn使得 A = BC, 并且 r(B)=r(C)=r.证明： A A = = P QP QEr O O OEr O O O= =ErO Er OA A = = P QP QErO Er O=BCr(A)+r(B) r max(r(A),r(B) A Br(A) + r(B) - n r(AB) min(r(A),r(B) 从“自由度” 的角度来记忆第二章第二章 矩阵矩阵 2.4 2.4 矩阵的秩矩阵的秩 相关题：填空（10）88页30题（秩的不等式）：
11、注意由 A2=E 得不到 A=E ，例如 P-1(i, j) = P(i, j)88页31题(伴随矩阵)：(1) r(A)=n, 容易推得 |A*| 0 或A*可逆. 自然r(A*) =n.(2) r(A)=n-1, 易知A*至少有一个元素不为 零，所以 r(A*)0. 又因为r(A) + r(A*) r(AA*) + n, 且AA*= |A|E =0，所以 r(A*) 1. 最终可 得r(A*) = 1.(3) r(A)n-1, A*=O. 问：如果两个同阶方阵是问：如果两个同阶方阵是 等价的等价的( (阶数阶数2)2)，那么它，那么它 们的伴随矩阵是否等价？们的伴随矩阵是否等价？ 反之呢反
12、之呢问：方阵A经过初等变换变成B，那么 A* 和 B* 有什么关系呢？另外在作业中易犯的一个错误：由 r(An n) = n-1， 假设A有一个 零行.事实上，只能得到A的等价标准形有一 个零行.88页31题(伴随矩阵)：相关题 填空（8）， 选择（5，8，10）88页31题(伴随矩阵)：Cramer法则的巧妙证法记记D D = = a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 aa22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnn第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵 对于对于n n元线性方程组
13、元线性方程组, , D D1 1= =b b1 1 a a1212 a a1 1n n b b2 2a a22 22 a a2 2n n b bn n a an n2 2 a annnn, ,a a1111a a1212 b b1 1a a2121a a2222 b b2 2 a an n1 1 a an n2 2 b bn nD D2 2= =a a1111 bb1 1 a a1 1n n a a2121 bb2 2 a a2 2n n a an n1 1 b bn n a annnn, , , , D Dn n= =. .第二章第二章 矩阵运算和行列式矩阵运算和行列式 2.4 2.4 逆矩阵逆矩阵 考察考察 b bi ia ai i1 1 a ai i2 2 a ainin b b1 1a a11 11 a a1212 a a1 1n n
