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1、 信賴區間與信心水準的解讀一、從常態分配談起國文英文數學物理化學生物平均A 生85976174727276.8班平均63.474.063.061.971.770.867.5標準差11.014.913.111.614.310.19.2為何成績單只要有個人成績加上平均數、 標準差，就足夠估計學生大約的名次？ 例：A 生成績（全班 40 人）由資料可知，A 生平均分數距離全班平均分數約個標準差。由 68-95-99.7 的法則可知，A 生的百分等級約為 68+(100-68)/2=84，全班排名約為 40(100-84)% 6 名為何可以如此估算？ 我們假設全班成績分佈為一常態分佈設常態分配的期望值
2、為m、變異數為s 2，則常態 分配的機率分配函數是標準常態分配 標準常態分配累積機率表 0zpp上面的標準常態累積機率表，是由平均值為 0、標準差 為 1 的標準常態分配機率密度函數（上圖中的 f (x)）， 計算從-到 zp 曲線下的面積而得，通常記作F(zp)，因此 上表可以寫成 F(zp) = p。以 z = 1.96 為例，F(1.96)0.975， 所以在平均值前後 1.96 個標準差的機率為 0.9750.025 = 0.95。 標準常態分配累積機率表 1.96-1.9600.9501.960.975 0.025大學聯考的統計資料已知 X54.63 s 13.73 某生國文成績為
3、24.7 分 這個分數距離平均值 個標準差。 利用常態分配表推知他的百分等級是 2.5%，但由大考中心資料得知他實際的百分等級是 4% 上述兩個例子是用常態分配去近似班級考試分配及大學指考分配，但只是近似，顯然不可能完全正確推算名次。二、信賴區間的簡介 某次民意調查發表之記者會特安排在十月四日世 界動物日當天，以凸顯對解決流浪狗問題的迫切 性，在 1111 份回收問卷中，其中的一個問題為： 您願不願意以實際行動來照顧住家附近的流浪狗/貓 ？願意 140 (12.6%) 不願意 971 (87.3%) 以樣本比例 來代表母體的真正比例 p 合理嗎？願意照顧流浪動物的民眾真的是 12.6% 嗎？區
4、間估計 92年7月19日，某報就成年人對公立大學學費是否 太貴的議題進行調查，於20日報導：成功訪問 了871位成年人。在百分之九十五的信心水準下，有 46% 民眾認為學費太貴，抽樣誤差在正負 3.3% 之內 ，而該調查是以台灣地區住宅電話為母體作尾數 兩位隨機抽樣。 這並不代表認為公立大學學費太貴的民眾比例在 (0.427,0.493)這個區間範圍內 我們每次做抽樣調查時都可以做出一個區間估計， 而每次做出區間會涵蓋實際比例的機率為95%。 但是，這些區間與 95% 如何求出？信賴區間的實驗 老師為全班每個同學各準備一籤筒，事 先不讓學生知道籤筒裡放了幾支籤，內 含若干有獎籤，然後做一次實驗
5、：每個 同學在籤筒內抽取一支籤，記錄是否為 有獎籤後放回，連續抽取 20 次。記錄 內容必為下列表格其中一列：區間公式對照表（n =20）區間半徑 =中籤 數中籤比 例 區間 半徑左 端點右 端點100.500.2190.2810.71900.000.0000.0000.000110.550.2180.3320.76810.050.0960.0000.146120.600.2150.3850.81520.100.1310.0000.231130.650.2090.4410.85930.150.1560.0000.306140.700.2010.4990.90140.200.1750.0250.
6、375150.750.1900.5600.94050.250.1900.0600.440160.800.1750.6250.97560.300.2010.0990.501170.850.1560.6941.00070.350.2090.1410.559180.900.1310.7691.00080.400.2150.1850.615190.950.0960.8541.00090.450.2180.2320.668201.000.0001.0001.000 舉例：若一學生抽 20 次得到 9 次有獎籤，則中籤比例為 9/20 = 0.45，區間半徑為 區間為 0.45-0.218, 0.45+0
7、.218 ，即 0.232, 0.668 0.60.70.80.91.00.50.40.30.20.10信賴區間圖右圖中，全班 40 個學生每個人都 得到一個區間， 如果老師事先知 道 p = 0.6，那麼 從圖中可知，有 35 個區間包含真 實的 p 值。全班 40 個學生 包含 p 值區間個 數的期望值為40 0.95 = 38 個0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3
8、4 35 36 37 38 39 40 的公式是如何得來的？ 首先， 1.96 的由來是因為在平均值前後 1.96 個標準差所佔比例約為 95%。 單獨一次抽籤的標準差是 ，平均 n 次抽籤的標準差是 。 所以是指在 p 前後 1.96 個標準差的範圍 。以真實中獎機率 0.6 為例，20 次抽籤抽中有獎籤的 比率必為 0, 0.05, 0.1, , 1.0 其中之一，舉例：抽中 9 次的中獎比率為 0.45，此事件發生機率為 0.071。（上圖左邊第二條綠色長條） 上圖將每一種中獎比率與其發生機率作成直方圖， 而綠色區域是 0.6 前後 1.96 個標準差的區域。現在用常態分配去近似二項分配
9、，每個同學 20 次抽 籤的結果，抽中有獎籤的比率必為圖中 x 坐標之一 ，且此比率落在綠色區域的機率為 0.95。 每個同學 20 次抽籤抽中有獎籤比率的結果好比是在 擲一枚出現正面機率是 0.95 的銅板，成功擲出正面 （抽中有獎籤比率落在綠色區域）的機率是 0.95。 樣本平均 落在 區間的樣本點， 也就是期望值 p 會落在區間的樣本點。區間公式對照表（n =50）區間半徑 =中籤 數中籤比 例 區間 半徑左 端點右 端點00.00 0.000 0.000 0.000 120.24 0.118 0.122 0.358 10.02 0.039 0.000 0.059 130.26 0.12
10、2 0.138 0.382 20.04 0.054 0.000 0.094 140.28 0.124 0.156 0.404 30.06 0.066 0.000 0.126 150.30 0.127 0.173 0.427 40.08 0.075 0.005 0.155 160.32 0.129 0.191 0.449 50.10 0.083 0.017 0.183 170.34 0.131 0.209 0.471 60.12 0.090 0.030 0.210 180.36 0.133 0.227 0.493 70.14 0.096 0.044 0.236 190.38 0.135 0.24
11、5 0.515 80.16 0.102 0.058 0.262 200.40 0.136 0.264 0.536 90.18 0.106 0.074 0.286 210.42 0.137 0.283 0.557 100.20 0.111 0.089 0.311 220.44 0.138 0.302 0.578 110.22 0.115 0.105 0.335 230.46 0.138 0.322 0.598 中籤 數中籤比 例 區間 半徑左 端點右 端點370.74 0.122 0.618 0.862 240.48 0.138 0.342 0.618 380.76 0.118 0.642 0.
12、878 250.50 0.139 0.361 0.639 390.78 0.115 0.665 0.895 260.52 0.138 0.382 0.658 400.80 0.111 0.689 0.911 270.54 0.138 0.402 0.678 410.82 0.106 0.714 0.926 280.56 0.138 0.422 0.698 420.84 0.102 0.738 0.942 290.58 0.137 0.443 0.717 430.86 0.096 0.764 0.956 300.60 0.136 0.464 0.736 440.88 0.090 0.790 0.
13、970 310.62 0.135 0.485 0.755 450.90 0.083 0.817 0.983 320.64 0.133 0.507 0.773 460.92 0.075 0.845 0.995 330.66 0.131 0.529 0.791 470.94 0.066 0.874 1.000 340.68 0.129 0.551 0.809 480.96 0.054 0.906 1.000 350.70 0.127 0.573 0.827 490.98 0.039 0.941 1.000 360.72 0.124 0.596 0.844 501.00 0.000 1.000 1.
14、000 信賴區間圖右圖中，全班 40 個學生 每個人都得到一個區間， 如果老師事先知道 p = 0.6，那麼從圖中可知，有 37 個區間包含真 實的 p 值。全班 40 個學生包含 p 值區間個數的期望值為40 0.95 = 38 個n = 50 時，區間半徑成為因此區間長度變短了。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 區間比較圖n =20 n = 500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
