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1、 如何根据抽样检查结果来科学地评价，是假设检验需要解决的问题。具体有两类假设检验问题：（1）对参数的假设检验。假设总体的理论分布形式已知，检验关于未知参数的一些假设是否成立。（2）对总体分布的假设检验。直接对总体的分布作假设检验。例如，是否正态分布、泊松分布等等。 第八章 假设检验假设检验问题:样本的信息 检验 总体的某个假设是否成立?1. 假设检验（一） 假设检验的基本思想和方法 先根据统计调查的目的，提出一个统计假设（也叫原假设等等） 然后由抽样结果来检验这个假设是否可信，是否能够成立 作出决策：拒绝还是接受这个假设。例如：产品的质量控制、食堂伙食价格变化等。简单地说，就是分析差异，即对统
2、计调查中出现的差异进行定量的分析，以确定其性质。 例1：一台车床加工零件的直径服从正态分布，分别测量直径，得到分析：零件组成一个总体X已知服从正态分布。是否等于5？如果根据上述问题，提出一个统计假设：假设这天生产正常。将原假设记为，即则备选假设为是规格。现从一天的产品中抽查50个，。问这天的生产是否正常？，生产正常；否则，说明生产不正常。怎样判定现在，而正常生产，其差异问题的关键是对这个差异进行分析。1.差异可能是由随机因素引起的，称为“抽样误差”或“随机误 差”，这种误差反映偶然的、非本质的因素引起的随机波动。2.差异不是由随机因素引起的，它反映事物的本质差别（反映总 体之间的不同），叫“系
3、统误差”。 是否成立？这个抽样结果究竟是偶然性的，还是不正常所造成的？这里给出一个量的界限，即给出一个数，如果则认为是随机性的差异，或者说，差异不够显著；如果则认为不是随机性的差异，或者说差异显著。 给出上述量的界限，有一个基本原理：小概率事件在一次试验中基本上不会发生。 需要检验，现假设在此假定下，某事件A出现的概率很小，比如进行一次试验，如果A出现了。在一次试验中就出现了小概率事件A，考虑到“小概率事件在一次试验中基本上不会发生”，而现在A居然发生了，那就不能不怀疑作为小概率事件A的前提的假设反之，如果小概率事件A不出现，则试验结果与假设相符，没有理由拒绝。 是正确的。的正确性。这种推理方
4、法称为带概率性质的反证法，即概率反证法。概率反证法的逻辑是：假设原假设成立，如果小概率事件在一次试验中发生，就可以有很大的把握否定原假设。在假设检验中，称这个小概率为显著性水平。的选取一般根据实际情况而定，通常取0.01，0.05，0.1。 作出判断所依据的逻辑是： 如果原假设是对的 则衡量差异大小的某个统计量落入某个区域C是个小概率事件 如果该统计量的实测值落入区域C，也就是说，原假设成立下的小概率事件发生了 就认为原假设不可信而否定它。否则就不能否定原假设（只好接受它）。不否定原假设并不是肯定原假设一定对，而只是差异不够显著，还没有达到足以否定原假设的程度。 总结假设检验的基本步骤如下：（
5、1）提出两个相互对立的假设：原假设 备择假设（对立假设） （2） 选取统计量（检验统计量）（要包含所研究的差 异），在成立下求出它的分布（3）由给定显著性水平0.05，查正态分布表的临界值，使得得拒绝域 C：（4） 由样本算出Z的实测值z2.36。（5） 把z与临界值比较。因为Z的实测值落入拒绝域，故否定原假设，即认为这天生产不正常，需检修。上面作出否定原假设的判断，可靠程度为10.95 例2：在正常生产情况下，印花布的宽度服从正态分布N(1.4,0.00482)，某日选取该种棉布5匹，测得布幅宽度为：1.32,1.55,1.36,1.40,1.44,问该日印花布宽度的标准差是否正常？（取解：
6、原假设为备选假设为 由题，计算得样本均值和样本方差分别为0.05）选取适当的统计量，在成立的条件下求出它的分布：由已给显著性水平0.05，查表求得得拒绝域 C：由于实测值落在拒绝域内，故否定原假设。即认为该日生产的布幅宽度的标准差不正常。 综上，可得假设检验的一般步骤：（1）提出原假设及备择假设（对立假设）（2）选取一个适当的统计量T，在（3）根据给定显著性水平（4）算出统计量T的实测值，将实测值与拒绝域对照 ，若实测值落入拒绝域，则否定原假设否则，就认为差异不显著而不能否定原假设。 成立的条件下求出它的分布（或近似分布）；，求出拒绝域C；（二）两类错误及其概率第一类错误：当原假设当这种错误，
7、称为第一类错误。犯第一类错误的概率为 人们无法排除犯这类错误的可能性，因此希望将犯这类错误的概率控制在一定的限度之内，即给出一个较小的数概率不超过。 正确时，小概率事件并非不可能发生。本来是正确的，而统计量的值落入拒绝域，就错误地否定了原假设。，称为显著性水平，使犯这类错误的第二类错误：在作出不能否定原假设的判断时，也可能犯错误。如果原假设这时我们没有否定一个错误的原假设。这种错误，称为第二类错误。犯第二类错误的概率 为： 我们希望作出的检验使犯两类错误的概率同时都很小，最好是全为0。是错误的，而统计量的值没有落入拒绝域，样本容量给定后，犯这两类错误的概率不能同时被控制。在实际使用时，通常只能
8、控制犯第一类错误的概率，即根据实际情况，通过控制显著水平减小犯错误的可能性。当宁可“以假为真”而不愿“以真为假”时，则应把取得很小，如0.01甚至更小反之，则应把一般来说，当样本容量固定时，若减少犯一类错误的概率，则犯另一类错误的概率往往增大，若要使犯两类错误的概率都减小，需增加样本容量。 的大小来0.001，取得大些。显著性检验在给定样本容量的情况下，一般来说，总是控制犯第1类错误的概率，使它不大于 。这种只对犯第1类错误的概率加以控制，而不考虑犯第II类错误的概率的检验，称为显著性检验。不管在什么情况下，为了保证都不应太小。 不致太大，（三）假设检验与区间估计的关系假设检验与区间估计是两种
9、最重要的统计推断形式，两者存在一定的关系。样本容量例: 设总体已知，求枢轴量为按置信水平1确定一个大概率事件由此得到的置信水平为1的区间估计为：利用区间估计可建立假设检验，反之亦然。的区间估计，这个区间估计恰好是原假设显著性水平为。 的一个接收区域，如果是检验假设选取的统计量是对给定的显著性水平，得到小概率事件由实测值拒绝域接收域是否成立，决定是否拒绝原假设。把改为，此结果正是的区间估计，置信水平为1。 假设检验和区间估计的结果，在解释上可以有差别以上例来说明。在有了样本之后，同时检验假设（显著性水平）和对水平1）。假设（1）接收（2）接收（3）拒绝（4）拒绝，区间估计为0.001,0.002
10、作区间估计（置信0，对不同的样本值，以下几种情况都可能出现：，区间估计为0.001,0.001，区间估计为1000,1500，区间估计为1000,2000情况1：接收按假设检验，应接受按区间估计，情况2：接收按假设检验，应接受按区间估计，这区间包含0，即0是这一点与假设检验的结论一致。但细看这区间，最大可以到1500，最小可以到1000，这中间哪一个值都有可能。因此，从区间估计角度看，实在没有多大把握认为能在0附近，这与假设检验的结论不协调。 ，区间估计为0.001,0.0010；可能取到的最大值和最小值都很接近于0；这两者解释一致。，区间估计为1000,15000；的一个可能值，情况3：拒绝
11、按假设检验，应拒绝按区间估计，区间中不包含0，即0不看作故认为加强了假设检验的结论。 ，区间估计为1000,20000；的可能值，而且，区间的最小值也有1000，与0相去甚远。的理由很充分，区间估计的结论情况4：拒绝按假设检验，应拒绝由上例可以看到，统计上的结论一定要注意其实质含义，如果停留在表面上，就可能得出错误的结论。，区间估计为0.001,0.0020；按区间估计，区间中不包含0，从这个方面看，二者一致；可是细看这区间，它整个在0的附近，因此实质上就可以认为就是0。这样，区间估计的结论（在实质上）与假设检验的不同。（四）双侧检验与单侧检验假设检验 其中，表示可能大于，也可能小于的拒绝域分
12、别在两侧。在上述例1中，拒绝域为，），（，在很多情况下，会提出如下形式的原假设：对应的备择假设是称这类假设检验为单侧假设检验或单边假设检验。 ，这类检验（），称这类假设检验为双侧假设检验。设总体为已知，是来自的样本，给定显著性水平。检验假设中的全部都比中的要小，当观察值往往偏大，因此，拒绝域的形式为选取检验统计量因为的拒绝域。因为真时，为什么选的统计量是它？这里，是未知的，假设成立，即有 不是统计量，无法把样本值代入计算。设事件A表示事件B表示由于，故，即若则得到当很小时，是小概率事件。所以取拒绝域为类似地，可得左边检验问题的拒绝域为：例：某织物的强度指标的均值生产一批织物，现抽取30件，测得
13、 强度指标服从正态分布，且已知1.2kg。问在显著水平解： 取 备择假设是 由题设，强度指标 ，其中已知1.2，21kg。改进工艺后21.55kg。假设0.01条件下，新生产的织物比过去的织物的强度是否要高？；即假设强度没有提高；选取检验统计量不是拒绝域为对给定显著性水平0.01，查标准正态函数表，得。代入样本值计算得观察值落入拒绝域，从而拒绝原假设，认为由上面推导过程可看到，在这里犯第一类错误的概率不会大于0.01。 。即新生产的织物强度比过去的有显著的提高。不是因为未知总结假设检验问题的一般步骤如下：（1）提出原假设及备择假设（对立假设）对一个实际问题，原假设通常都可以有两种提法，即原假设
14、和备择假设可以互换。如何选择原假设？在实际问题中，往往把不肯轻易否定的命题作为原假设 。另外，在进行单侧假设检验时，最好把希望得到的结论的反面作为原假设。 （2）选取一个适当的检验统计量T，在（3）根据给定显著性水平（4）算出统计量T的实测值，将实测值与拒绝域对照，若实测值落入拒绝域，则否定原假设否则，就认为差异不显著而不能否定原假设。 成立的条件下求出它的分布（或近似分布）；，求出拒绝域C；2 正态总体均值和方差的假设检验（一）单个总体1已知，关于检验假设选取的检验统计量均值和方差的检验的检验（Z检验）对给定的显著性水平，得到小概率事件由实测值拒绝域接收域在这些检验问题中，都是利用统计量来确
15、定拒绝域的。这种检验法称为Z检验法。 是否成立，决定是否拒绝原假设。2未知，关于设总体，其中的拒绝域（显著性水平为设设是来自总体X的样本。由于未知，这里，不能用确定拒绝域。因为的无偏估计，所以用S来代替。 的检验（t检验）未知。）。检验假设问题对于正态总体，当未知时，关于检验的拒绝域在表8.1中已给出。 当H0为真时，有由：得拒绝域为：的单边上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法。 选取的检验统计量未知，关于的检验（设总体均未知，（1）检验假设（显著性水平为）；为已知常数。由于S2是观察值s2与的比值即拒绝域是双侧的。 检验）是来自X的样本。选取检验统计量3的无偏估计，当H0为真时，一般来说
16、应在1附近摆动。当H0为真时：其拒绝域有由下式确定：为计算方便起见，习惯上取：得拒绝域为：或（2）求单边检验问题（显著性水平为）因H0中的全部都比H1中的S2的观察值s2往往偏大，因此拒绝域的形式为：的拒绝域。要小，当H1为真时，当H0为真时：因为得拒绝域为：类似地，可得左边检验问题：的拒绝域为：以上检验法称为检验法。 （二）两个正态总体的检验问题1两个正态总体均值差的检验（t检验）设设两样本独立。它们的样本均值为，样本方差为求检验问题：（为已知常数）的拒绝域。取显著性水平为。 均为未知，且假设两总体的方差是相等的。选取t统计量作为检验统计量：其中 当H0为真时，有与单个总体的t检验法相仿，其拒绝域的形式为：由得拒绝域为：关于均值差的两个单边检验问题在拒绝域在表8.1中已给出，常用的是当两个正态总体的方差均为已知
