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1、数学的模型与实验概论 数理学院 付丽华1.1 数学与数学模型数学与数学模型 数学是研究现实世界数量关系和空间形式 的科学。 数学的产生和发展一直和数学模型紧密相 连。 数学模型具有预测，判别，解释三大作用 ，其中预测是数学模型价值最重要的体现 。玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.1.1.1 从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船
2、速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?x=20 y =5求解航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速为20km/h）.数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学
3、工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学 建模1.1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径”
4、.数学建模的重要意义数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼几个例子例1.1 谷神星的发现1764年，瑞士波奈特哲学家出版了自然观察一 书，德国人提丢斯在读了该书后，从中总结出一个级 数，用于表示太阳与当时已发现的六颗行星的距离。 后来波德修改为如下“提丢斯-波德”定则:当时,从上述公式可以计算出太阳与水星、金星、地球 、火星、木星和土星的近似距离分别为0.400292968 、0.7、1.0、1.6、5.2、10.0个天文单位.人们很自然 地思考为什么 时没有行星对应？例1.2 跑步问题例1.3 随机事件的频率稳定性 数学模型（Ma
5、thematical Model）是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客 观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一 现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling）应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程 。1.2 数学模型与数学建模数学模型与数学建模 例（万有引力定律的发现 ） 十五世纪中期 ，哥白尼 提出了震惊世界的 日心说。 丹麦著名的实验天文学 家第谷花了二十多年时间 观察纪录下了当 时已发现的五大 行星的运动情况 。 第谷的学生和助手 开普勒对这些资料进行了九年时
6、间 的分 析计算后 得出著名的Kepler三定律。 牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分 方法推导出牛顿第三定律即 万有引力定律。1.行星轨道是一 个椭圆，太 太阳位于此椭圆的一个焦 点上。 2.行星在单位时间内 扫过的面积不变。 3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方 ，比例系数不随行星而 改变（绝对常数）开普勒三大定律 这其中必 定是某一 力学 规律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如图，有椭圆方程 :矢径所扫过的面 积A的微分为:由开普勒第二定 律:常数立即得出 :即:椭圆面积由此得出常数简单推导如下：行星 r太阳我们还需算出行星的加速度，为此需要建立 两种 不同的坐标架
7、。第一个是固定的，以太阳为坐标原点， 沿长轴方向的单位向量记 为i,沿短轴方向的单位向量记 为j，于是：进而有 加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向 量分别是因此得出由于也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知为常数。若记那么就导出著名的 万有引力定律：再将椭圆方程 两边微分两次，得将前面得到的结果和焦参数代入，即得 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必 要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各
8、变量之间的关系，建立相应的数学结构 即 建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也 应当借助 计算机 求出数值 解。 1.31.3 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤实体信 息(数据)假设建模求解验证应用1.41.4 数学模型的分类数学模型的分类分类标准分类标准具体类别具体类别对某个实际问题 了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特 征连续连续 型模型、离散型模型或确定性 模型、随机型模型等 建模中所用的数 学方法初等模型、微分方程模型、差分方 程模型、优优化模型等 研究课题的实际 范畴人口模型、生 态态系统统模型 、交通 流模型、经经 济
9、济模型、 基因模型等建模的基本方法 机理分析法；从客观实际出发，根据事实推理分析，应用 已知数据进行计算和确定模型的参数。 数值分析法；选用插值方法、差分方法、样条函数和回归 分析等方法对已知数据进行数值拟合。 构造分析法；先假设一个合理的数学结构，再用已知数据 确定模型的参数，或对模型进行模拟计算。 现成数学法；用现成的数学模型，常用的有微分方程、线 性规划、概率统计、层次分析、图论、人工神经网络、模 糊数学、灰色系统理论等。 直观分析法。通过对图形和数据的直观分析，对参数进行 估计和计算，并对结果进行模拟。数学建模实践的 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 调查研究阶段，需 要用到观察能
10、力、分析能力和数据处理 能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 简化 能力。 在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工 作成为别人研究工作 的 继续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结 果用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会 在尽可能短的时间 内查到并学会我想应用的知识的本领。 还需要你多少要有点 创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。 1.51.5 数学建模与能力的培养数学建模与能力的培养开设数学建模课的主要目的为了提高学 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 题的本领。
11、例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问从相遇点到会合处开 车需要多长时间？ 1.61.6 一些简单实例一些简单实例似乎条件不够哦 。换一种想法，问题就迎刃而 解了。假如他的妻子遇到他后仍 载着他开往会合地点，那么这一 天他就不会提前回家了。提前的 十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到 会合点，又从会合点返回相遇点这一 段路的缘故，故由相遇点到会合点需 开5分钟。 请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题
12、解答中隐含了哪些假设 ？例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下 ，可以保证途中至少存在一地，此人在两 天中的同一时间到达该地。分析分析 本题多少本题多少 有点象有点象 数学中数学中 解的存在解的存在 性条件性条件 及证明，当及证明，当然然 ，这里的情况要简单得多。，这里的情况要简单得多。 假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。 （请自己据此给出严格证明） 例3 交通灯在绿灯转换成红灯时
13、，有 一个过渡状态亮一段时间的黄灯 。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看 出，黄灯起的是警告的作用，意思是 马上要转红灯了，假如你能停住，请 立即停车。停车是需要时间的，在这 段时间内，车辆仍将向前行驶一段距 离 L。这就是说，在离街口距离为 L处 存在着一条停车线（尽管它没被画在 地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时 已过线的车辆，则应当保证它们仍能 穿过马路。 马路的宽度 D是容易测得 的，问题的关键在 于L 的确定。为确定 L，还应当将 L划分为两段：L1 和L2，其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹 车的反应时间内驶过的路程 ，L2为刹车制动后 车辆驶过的路程。
14、L1较容易计算，交通部门对司 机的平均反应时间 t1早有测算，反应时间过长 将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是 交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大， 可另建模型研究，从而 L1=v*t1。刹车距离 L2 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定 律计算出来。 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第 一步，先计算出 L应多大才能使看见黄灯的司机 停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到 （L+D） /v。 D L例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便 ，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗 洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高 ，
15、否则会烫手，但也不能太低，否则不干净 。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热 水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析 一下这一问题。盘子有大小吗 ?是什么样的盘子 ？盘子是怎样洗的 ? 不 妨假设我们了解到：盘子大小相 同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将 一叠盘子浸泡在热水中，然后 一清洗。 不难看出，是水 的温度在决 定 洗盘子的数量 。盘子是先用冷水 洗过的，其后可能还会再用清水 冲洗，更换热水并非因为水太脏 了，而是因为 水不够热了。 那么热水为什么会变冷呢？假如 你想建一个较精细的模型，你当 然应当把水池、空气等吸热的因 素都考虑进去，但餐馆老板的原 意只是想了解一下一池热水平均 大约可以洗多少盘子， 杀鸡 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 简化假设： （1）水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同 （2）盘子初始温度与气温相同，洗 完后的温度与水温相同 （3）水池中的水量为常数，开始温 度为T1，最终换水时的温度为 T2 （4）每个盘子的洗涤时间 T是一个 常数。根据上述简化假设，利用热量守 衡定律，餐馆老板的问题就很容 易回答了，当然，你还应当调查 一下一池水的质量是多少，查一 下瓷盘的吸热系数和质量等。 可见 ，假设条件 的提出不 仅和你 研的 问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识 、准备建立什么样的
