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1、 10.3 定积分及其应用知识梳理 1.定积分的有关概念： 把 叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作 ,即.其中a与b分 别叫做积分下限与积分上限，区间a， b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函 数, x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.2.定积分的几何意义：如果函数f(x)在区间a，b上的图象是 一条连续不断的曲线，且f(x)0，那么定积分 表示由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的 曲边梯形的面积.3.定积分的物理意义：（1）以速度vv(t)作变速直线运动的 物体，在atb时段内行驶的路程（2）如果物体在变力F(x)的作用下做直 线运动，并且物体沿着与F(x)
2、相同的方 向从xa移动到xb(ab)，则变力 F(x)所作的功4.定积分的运算性质：（1） ； （2） （3） .5.微积分基本定理：如果f(x)在区间a，b上的图象是一条 连续不断的曲线，并且 ，则拓展延伸1.用极限逼近原理求曲边梯形面积是 定积分的实际背景，其基本思路是： 分割近似替代求和取极限.2.定积分是一个特定形式和的极限， 其几何意义是曲边梯形的面积，定积分 的值由被积函数，积分上限和下限所确 定.3.在实际问题中，定积分可以表示面 积、体积、路程、功等等，求定积分的 值有定义法、几何法、定理法三种，有 时利用定积分的性质进行计算，能简化 解题过程.4.位于x轴下方的曲边梯形的面积
3、， 等于相应定积分的相反数.一般地，由直 线xa，xb(ab)，y0和曲线y f(x)所围成的曲边梯形的面积5.由直线xa，xb(ab)和曲线 yf(x)，yg(x)所围成的曲边梯形的面积考点分析考点1 定积分的基本运算例1 计算下列定积分：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） . 例2 计算下列定积分：（1） (ba)； （2） . 【解题要点】 确定被积函数的原函数对被积函数作 适当变形将定积分转化为求曲边梯形 的面积.考点2 利用定积分概念求极限值例3 求下列极限值：（1） （2） 【解题要点】 构造特定形式和确定被积函数和积分 区间用定积分表示极限.考点3 定积分中参
4、数的取值问题例4 (08年山东卷）设函数，若，0x01，则x0的值为 .例5 设f(x)kxb，已知，且 ，求k的取值范围.【解题要点】 求相关定积分值利用方程或不等式思 想分析参数取值. 考点4 定积分中的函数问题例6 求函数的值域.例7 已知函数(x1)，试推断函数f(x)是否有零点.【解题要点】 求积分函数的解析式据有关原理分析 函数性质.考点5 用定积分求平面图形的面积例8 求直线yx3与曲线yx22x 3所围成图形的面积.例9 求直线yx4与曲线y22x所 围成图形的面积.例10 如图，曲线C1：yx2与曲线C2 ：yx22ax(a1)交于点O，A，直 线 xt(0t1)与曲线C1、
5、C2分别相 交于点D、B，连结OD，DA，AB.设a为常 数，当t变化时，求曲边四边形ABOD的面 积S的最大值.xyOABD例11 若过原点的直线l与曲线C： yx24x(x0)所围成图形的面积为36 ，求直线l的方程. 【解题要点】 作几何直观图选择面积算法确定积分 变量、被积函数和积分区间将非规则 曲边梯形分割或补形为规则曲边梯形 对多边形面积直接套公式求解.例12 两车站A，B相距7.2km，一辆电 车从A站开往B站，电车开出ts后到达途 中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点 的速度为24m/s.从C点到B点前的D点以等 速行驶，从D点开始刹车，经ts后速度为 (241.2t)m/s，在B点恰好停车，求： （1）A，C两点间的距离； （2）B，D两点间的距离； （3）电车从A站到B站所需的时间.考点6 定积分在物理中的应用例13 作直线运动的物体在t秒内所经 过的路程x4t2(m)，若介质的阻力与速 度成正比，且速度为10m/s时，阻力位2N ，求物体从x0到x2阻力所作的功.【解题要点】 路程的被积函数是速度对时间的函数 力所作的功的被积函数是力对位移的函 数.
