高中数学：多项式理论

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1、第二讲 多项式理论题记:克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会得 出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界想 象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃然 起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界想 象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是那 样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元素。 ”初等代数研究第二讲 多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论一、一元多项式理论与轮换多项式多项式是代数学中的一个基本概念，也是代 数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多 项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变 形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算

2、 对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、 运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论 体系，为解代数方程奠定了理论基础。（一）解析式的定义和恒等 1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连 接而成的式子叫做解析式。 说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他 们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域 的变化。 （二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式 多项式理论是方程理论、函数理论、 不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的 多项式，如果对于变数字母的所有取值，这 两个多项式的值都相等，那么称这两个多项 式是恒等的。 特别地

3、：一个一元n次多项式，如果对于 变数字母的任意取值，以标准形式给出的多 项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等 于0，这个多项式称为0多项式。 定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项 式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项 分别具有相同系数的同类项。定理3：数域F上以标准形式给出的两个多 项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同 的取值，那么这两个多项式恒等。 定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。3、多项式的整除 因式分解的理论基础是因式定理 4、多项式的因式分解 中学教材规定：“把一个多项式化成 几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式 分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分 解为止

4、。”高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式 化成几个既约多项式乘积的形式。”关于因式分解理论，有两个基本问题： （1）怎样判断一个多项式是否可约？ （2）如果一个多项式是可约的，如何分解？对于（1）高等代数作出了回答：在复数域 中，一次多项式是既约的，任何次数大于1 的多项式都是可约的；在实数域中，次数大 于等于3的多项式是可约的；在有理数域中 ，情况比较复杂，具体问题具体讨论 。分解因式中的两个有用的结论：对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数

5、表示对称多项式。定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；2、置换的总数共有n!种。判断下列多项式是否是对称多项式（2）基本对称函数（基本对称多项式）广义韦达定理：结论1：任何对称多项式都可以表示成基本 对称函数的形式。结论2：两个对称多项式的和、差、积、 商、乘方（幂）也是对称多项式。定义分析：1、轮换：轮流替换；2、轮换的总数共有 种。对称多项式与轮换多项式的关系：对称多 项式是轮换多项式，反之不然。性质：两个轮换多项式的和、差、积、商 、幂仍是轮换多项式。（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；2）利用因式定理确定出部分因式

6、；3）据多项式的对称性，写出其他有关多项 式的形式（待定系数法）4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。用基本对称函数表示对称多项式题记：赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然 在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。（5）用基本对称函数表示对称多项式多元多项式的因式分解 分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简一、有理分式的恒等二、根式的定义和意义三、复合根式的计算四、根式的恒等变形的化简类型1 多元代数式型基本思想：观察代数式的结构，转化为基 本对称多项式的形式类型2 一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式类型3 一

7、元代数式型基本思想：降低次数法类型4 方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法， 利用相关性质求解5、代数代换法6、函数型根式构造几何模型法7、三角形代换法（三）三角方法的应用指数式与对数式如果计算生命的长短 不以活着的年龄为标准， 而以人的贡献来计算的话 ，那么对数的发现将人类 的寿命延长了两倍。 拉普拉斯题记主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展 ，科学和技术迅猛发展。天文、航海、 测绘、造船等行业不断向数学提出新的 课题。令人头痛的问题是：星体的轨迹 运算、船只的位置确定、大地的形貌测 绘、

8、船舶的结构设计等一系列课题中， 人们遇到的数据越来越庞杂，所需的计 算越来越繁难，耗费了科学家们宝贵的 时间和精力。路在何方？1、制造各种表格1544年，德国的斯提菲（Stifei）在普通 算术中叙述了“关于整数的这些奇妙性质”写 出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做原 数），右边是一个等差数列（叫做原数的代表 人物）2、对数研究的起源和发展： 恩格斯在自然辨证法中高度评 价了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿 的解析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分 并列为“17世纪最重要的数学方法”。 17世纪最重要的数学方法 2、指数式与对数式的关系注明：1、理解指数式与对数式相互转化的过程；2、明确各字母的

9、含义。问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）3、指数式与对数式的恒等变形三角式题 记：形长影短角不同 。东升西落照苍穹 ，昼夜循环潮起伏 ，春秋更替草欣荣。三角式三角式的内容结构：1、三角函数的定义；2、三角式的恒等变形；3、欧拉函数与反三角式一、三角函数的定义（初中课本） （高中课本）在初中数学中，三角函数的概念是以欧 氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三 角式来自于解直角三角形，它揭示了直角三 角形中边与角的联系。 在高中教材采用坐标法定义三角函数， 其优点是便于推广三角函数的概念，从方法 上看，把几何问题转化为代数问题来研究可 以简化讨论程序。 新课程标准：用解析几何思想理解三角函数

10、定 义（1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用 。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解， 从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意 角，它们会很清晰地反映在单位圆中。（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出 的。 在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单 位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b） 就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx = b ，cosx = a，tanx = （a不为0），等等。点M的坐标蕴含着丰富的 含义，包括代数的和几何的含 义。如，b是一个数，它的符号 表示点M所处的位置，当b大于 0，点M处于一或三象限，当b 小于0，点M处于二或四象限， b等于0，点M处在

11、y轴上；这样 ，a、b都大于0，则M点位于第 一象限，角是第一象限的角。数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函 数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它 较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函 数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析 几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数， 需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1 ，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了 正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负 关系。（3） 三角函数线的使用是历史的原因造成 的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“ 静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生 比“静态”的三角学要晚。在现代的数学

12、教育中， 应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡 化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这 将会变成趋势。注明：1、理论基础：欧氏几何中的相似原理；2、研究观点：直角三角形与函数观点；3、采用方法：坐标法几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定义的联系和区别应该说明：中学阶段的三角式虽然 建立在几何理论基础之上，但它并不依 赖于几何理论，也可以建立在解析理论 基础之上。在数学分析中，通过泰勒公 式，将三角函数展成幂级数的形式。由 此表明，三角式的值不能由有限次代数 运算得到，还包括取极限的过程。三角函数的解析定义：三角函数的常微分方程定义三角函数的公理化定义（函数方程）二、三角

13、式的恒等变形理论基础：正六边形法则 （1）倒数关系； （2）平方关系； （3）和差公式； （4）和差化积、积化和差； （5）倍角、半角、三倍角、降幂公式； （6）特殊的三角公式正六边形法则六边正方顶角处，从上到下弦切割 ；中心记上数字1， 连结顶点三角形 ；向下三角平方和，倒数关系是对角 ， 顶点任意一函数，等于后面两相除 。三角函数共六式， 象限符号坐标制，函数图象单位圆，周期奇偶现增减。 万能公式不一般， 化为有理式居先，和差化积须同名，互余角度变名称。三角函数反函数， 实质就是求角度，利用直角三角形， 形象直观好换名。三角函数解题口诀特殊三角函数值口诀：一二三，三二一 ，三九二十七。特殊

14、三角函数值（1）试计算下列三角式的值 （一）计算型（2）试计算下列三角式的值（3）试计算下列三角式的值（4）试计算下列三角式的值 三角式的恒等变形题 记：在孤独中能沉淀出自我便是战胜；在孤独中能产生出智慧就是超越。（二）证明型（三）三角方法的应用欧拉公式题 记平静的湖面难于练就精悍的水手，安适的环境造就不出时代的伟人。主要内容：1、欧拉公式与用指数式表示三角 式2、用对数式表示反三角式。阿拉哥欧拉进行复杂的演算不费吹灰 之力，就象常人进行呼吸，或如雄鹰翱翔于天 空那样轻松自如。被誉为“数学界的莎士比亚”的数学家是 。被誉为“数学英雄”的数学家是 。欧拉临终遗言：“我要死了。” 欧拉公式 一、欧

15、拉公式的由来方法1（幂级数）方法2（构造函数法）二、用欧拉公式（指数式）表示三角式一一 知识回顾知识回顾 1：指数函数的幂级数展开式（1）2：正余弦函数的幂级数展开式二、欧拉公式及其推导二、欧拉公式及其推导 在（在（1 1）式中，用复数）式中，用复数z=z=iy iy代替代替x x，根据复变函数的知识知，根据复变函数的知识知 道所得级数仍然收敛，即道所得级数仍然收敛，即举例说明 题记：研究欧拉的著 作永远是了 解数学的最 好方法。高斯主要内容：（1）复数的自然对数 （2）自然对数表示反正切 （3）自然对数表示反正切公式的应用二、用对数式表示反三角式二、用对数式表示反三角式（1）复数的自然对数 设 由欧拉公式得（这里 ） 取自然对数有： 由 表明复数的自然对数有多个值 把其中的（2 2）用自然对数表示反正切）用自然对数表示反正切解得解得设设解得解得 （3）自然对数表示反正切的公式运用初等代数研究上册复习题 记：高斯被誉为“能从九霄云外的高度按 照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“。主要内容两个字： 数 式数： 自然数、有理数、无理数、复数式： 多项式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式