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1、材料力学第九章 压杆稳定9-1 压杆稳定的概念9-2 两端铰支细长杆的临界压力9-3 其他支座条件下细长杆的临界压力9-4 欧拉公式的适用范围 经验公式9-5 压杆的稳定校核9-6 提高压杆稳定的措施9-7 纵横弯曲的概念材料力学第九章 压杆稳定9-1 压杆稳定的概念材料力学第九章 压杆稳定例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢的许用应力为=196MPa。按强度条件计 算得钢板尺所能承受的轴向压力为P = A = 3.92 KN实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见 ，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。材料力学第九章
2、压杆稳定一、稳定平衡与不稳定平衡的概念当 F小于某一临界值Fcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直 线形态下的平衡是稳定平衡。 材料力学第九章 压杆稳定FF(a)Q(b)当 F增大到一定的临界值 Fcr，撤去横向力后，杆的 轴线将保持弯曲的平衡形 态，而不再恢复其原来的 直线平衡形态，压杆在原来直线形态下的 平衡是 不稳定平衡不稳定平衡。材料力学第九章 压杆稳定材料力学第九章 压杆稳定材料力学第九章 压杆稳定两端球形绞支，长为 L的等截面细长 中心受压直杆。9-2两端铰支细长压杆的临界压力材料力学第九章 压杆稳定vcrFx2llmmyByx材料力学第九章 压杆稳定压杆
3、任一 x 截面沿 y 方向的位移为 y = f (x)该截面的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程为mmyByx材料力学第九章 压杆稳定其中 I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。令则有二阶常系数线性微分方程mmyByx材料力学第九章 压杆稳定其通解为A，B，k 三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。材料力学第九章 压杆稳定边界条件：得B=0材料力学第九章 压杆稳定B=0 ，边界条件：材料力学第九章 压杆稳定要想压杆在微弯状态下平衡只有要想压杆在微弯状态下平衡只有材料力学第九章 压杆稳定其最小解为 n = 1 的解材料力学第九章 压杆稳定即得这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式（欧拉
4、公式）材料力学第九章 压杆稳定材料力学第九章 压杆稳定1两端绞支2一端固定另端绞支C为拐点l c rPl7 . 09-3其它支座条件下细长压杆的临界压力材料力学第九章 压杆稳定l c rP3两端固定C，D为拐点D2l材料力学第九章 压杆稳定4一端固定另端自由crPll材料力学第九章 压杆稳定表7-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 两端绞支一端固定另绞支端两端固定一端固定另端自由支承情况临界力的欧拉公式长度系数 = 1 = 0.7 = 0.5 = 2材料力学第九章 压杆稳定欧拉公式 的统一形式为压杆的长度系数; l 为相当长度。讨论：（1）相当长度 l 的物理意义1压杆失稳时
5、，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度 l 。2 l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度材料力学第九章 压杆稳定 为长度系数 l 为相当长度（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I应取最小的形心主惯性矩。材料力学第九章 压杆稳定2若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对中性轴的惯性矩。材料力学第九章 压杆稳定例9-3-1： 图示各杆材料和截面均相同，试问哪一根杆能承受 的压力最大， 哪一根的最小？aP(1)P1.3a(2)P(3)1.6a因为又可知
6、（1）杆承受的压力最小，最先失稳 ；（3）杆承受的压力最大，最稳定。材料力学第九章 压杆稳定FaABa2c解：故取例9-3-2：已知：图示压杆EI,且杆在B支承处不能转动求：临界压力材料力学第九章 压杆稳定例9-3-3：由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在 xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，z = 1，长 度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定 y = 0.6 ，长度为 l2 。求 Fcr。zy22126624材料力学第九章 压杆稳定zy22126624解：在xy平面内失稳时，z为中性轴材料力学第九章 压杆稳定在xz平面内失稳时，y为中性轴zy221
7、26624材料力学第九章 压杆稳定一、欧拉公式的应用范围(1) 压杆的临界应力公式 （临界应力欧拉公式）压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按 = P/A 计算。9-4 欧拉公式的应用范围 经验公式材料力学第九章 压杆稳定按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径材料力学第九章 压杆稳定称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。材料力学第九章 压杆稳定 越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平
8、面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr 。材料力学第九章 压杆稳定(2) 欧拉公式的应用范围只有在 cr P 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力 Fcr（临界应力 cr ）。或材料力学第九章 压杆稳定 当 1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。 当 1（小柔度压杆）时，不能应用欧拉公式。用经验公式A 3 钢 ( = 0123 )16 锰 钢 ( = 0102 )材料力学第九章 压杆稳定右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取 E=206MPa，p=200MPa，得右图称为
9、欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。1 的大小取决于压杆的力 学性能。例如，对于Q235 钢，可取 E=206MPa， P=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲 线。实线部分是欧拉公式 适用范围的曲线，虚线部 分无意义。材料力学第九章 压杆稳定二、压杆的临界应力总图o经验公式材料力学第九章 压杆稳定解：圆形截面杆：例9-4-1 截面为圆形，直径为 d 两端固定的细长压杆和截面 为正方形，边长为d 两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同 ，求两杆的长度之比及临界力之比。 圆形截面杆：材料力学第九章 压杆稳定所以正方形截面杆：由 1 = 2 得材料力学第九章 压杆稳
10、定材料力学第九章 压杆稳定Fcr 压杆的临界压力nw 压杆的稳定安全系数压杆稳定条件：9-5 压杆的稳定校核F工作压力材料力学第九章 压杆稳定 ：稳定系数,主要与柔度有关压杆的强度条件 (强度许用应力)压杆的稳定性条件 (稳定许用应力)材料力学第九章 压杆稳定例9-5-1 两端铰支中心受压直杆，材料 、截面形 状 、求：解： 1 . 计算截面的惯性半径 i (取最小)查表算得组合截面对其形心主轴 y、 z的 惯性矩 材料力学第九章 压杆稳定3. 计算稳定许用应力st根据=97，查表得=0.575，代入公式可得压杆的稳定许用应力为且为等截面， 故 2 . 计算杆件柔度 (取最大) 材料力学第九章
11、 压杆稳定例9-5-2 一连杆尺寸如图，材料为 A3 钢，承受的轴向压力为 P=120KN，取稳定安全系数 nw =2，校核连杆的稳定性。在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。zyxb=25h=60材料力学第九章 压杆稳定在 xy 面内失稳连杆两端为绞支，长度 l =940 。zyxb=25h=60解：(1) 求柔度 材料力学第九章 压杆稳定在 xz 面内失稳近似两端固定，长度 l 1=880 。zyxb=25h=60杆在 xz 面内先失稳，应用 y 计算临界力。材料力学第九章 压杆稳定zyxb=25h=60（2）求临界
12、力，作稳定校核因为 y = 61 123，用经验公式计算压杆是稳定的材料力学第九章 压杆稳定zyxb=25h=60（3）如果要求连杆在两平面内失稳时的临界力相等材料力学第九章 压杆稳定例9-5-3 两端绞支压杆，材料为A3钢，截面为圆环，P=180KN，l =2500mm，r=60mm，稳定安全系数nw=2.5，计算钢管壁厚t 。PPlrt材料力学第九章 压杆稳定PPlrt解：按薄壁管考虑用经验公式计算材料力学第九章 压杆稳定PPlrt取壁厚 t =6mm，此时不超过10%，可按薄环处理。材料力学第九章 压杆稳定例9-5-4 压杆的约束情况，轴向压力，材料均同上例，试选择工字型截面。已知材料的
13、 E = 206GPa，强度许用应力 = 140MPa。解：用试算法先根据 A3 钢的强度许用应力求一截面作参考材料力学第九章 压杆稳定考虑到稳定，取两倍的面积，约 2600mm2。选出 18号 工字截面查表：A = 30.6cm2 ， Imin=122cm4，截面的最小惯性半径 imin = 2cm用欧拉公式计算材料力学第九章 压杆稳定稳定性不足，再选 20a 工字截面查表：A = 35.5cm2 ， imin = 2.12cm用经验公式材料力学第九章 压杆稳定20a 号工字钢可用。材料力学第九章 压杆稳定Any question ?Any question ?材料力学第九章 压杆稳定祝大家学习愉快!
