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1、7-2 线性系统的可控性与可观测性一概念u经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控；且输出 量总是可测量的，故不需提出可控及可观测的概念。u现代控制理论用状态方程和输出方程来描述系统，揭示系 统内部状态的变化规律，状态是被控量，输出量只是状态的 线性组合，于是存在“能否找到使任意初态转移到任意终态 的控制量”的问题即可控性问题。并非所有状态都受输入量 的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些 确定的终态，而不是任意的终态。同时存在“能否由输出量 的测量值来确定线性组合起来的各状态分量”的问题，即可 观测性问题。并非所有状态分量都可
2、测量，也并非所有状态 分量都可由输出量的测量值来确定。 u可控性、可观测性概念，是用状态空间描述系统引申出来的 概念。于1960年卡尔曼首先提出，在现代的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条 件（但并非所有的都需要可控且可观测）。像稳定性一样，可 控性、可观测性也是系统固有的重要结构特性。例1 一个桥式电路， 作为 状态变量， 为输入，y为输出，即 。（1）当非平衡时，即 时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择，u使任意初态转移到任意终态，因此是可控的。由于测量到的输 出量即 ,且 与 有确定的关系，即 含有 的信息，因而是可观测的。（2）当平衡时，即
3、时，u只能控制iL的变化，不能控制uc，这时uc0，从而也不能由输出测量结果确定 iL，因而uc是不可控的，ic不可观测。 系统中只要有一个状态变量不可控或不可观测，便称该系统 不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观测 。u（a）显见x1受u控制，但x2与u无关，故系统不可控。输出量 y=x1，但x1是受x2影响的，y能间 接获得x2的信息，故系统是可观测的。u（b）x1、x2均受u的控制，故 系统可控，但y与x2无关，故系统不可观测的。u（c）x1、x2均受u的控制，且 在y中均能观测到x1、x2，故系统可控可观测的。例 2当 ， 且初始状态 时，uu只能使 ，u而不能将 与 分
4、别转移到不同的数值，这也称为不可控。u由于 故可观测。 例3可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，便泛指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关。u1 连续系统的状态可控性u（1）凯莱哈密顿定理u设n阶矩阵A的特征多项式为 u则A满足其特征方程，即 此式称为凯莱哈密顿定理。二线性定常系统的可控性u 推论1 矩阵A的k（ ）次幂，可表为A的 (n-1)阶多项式 即则故上式推论成立。式中 与A阵的元素有关。u 推论2 矩阵指数eAt可表为A的(n-1)阶多项式（4） u（2）单输入线性定常连续系统的可控性 设状态方程为 （5）其状态可控性定义如下：在有限时间间隔tt0 ,tf内，存在无约束
5、的分段 连续控制函数u(t)，能使系统从任意初态x(t0)转移至 任意终态x(tf)，则称该系统是状态完全可控的，简称 是可控的。 式（5）状态方程的解为（ 6）为导出可控性判据，仍可不失一般性地假定及 ，于是有解得 利用凯莱哈密顿定理的推论有 令 则 （7）记 （8） 为单输入线性定常连续系统可控性矩阵， 为（ ）矩阵。 据解的存在定理，其状态可控的充分必要条件是 （9）u对多输入情况，其状态方程为记S4是（nnp）可控性矩阵，其状态可控的充分必要条件是状态可控性只与状态方程中A、B矩阵有关，可控系 统的(A,B)常称为可控对。（3）多输入线性定常连续系统的可控性u例1 试用可控性判据判断如
6、图所示桥式电路可控性。u解 该桥式电路的微分方程为u选取状态变量： 。 u将微分方程组中的i1、i2、i3、i4消去，可得状态方程u列写其可控性矩阵S3：当 时，rankS3=2=n ,系统可控。 但当电桥处于平衡状态即 时，有 及 成立，这时状态方程为系统不可控，n不能控制x2， x2是不可控状态变量 。 u例 2 试用可控性判据判定下图的可控性。 解：当 时，系统可控。当 时，rank 1n，系统不可控。例3 已知 ，求A100=？解：由凯莱哈密顿定理得：u由数学归纳法得：故u例4 判断可控性解：可见，S4的第二、三行元素绝对值相同，rankS4=23。 故系统不可控。设二阶系统(对角矩阵
7、) ， 其可控性矩阵S3的行列式为：时系统可控，于是： 当A有相异特征值（ ）时，应存在 ， ，意为A阵对角化且有相异元素时，只需根 据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。 若 时，则不能这样判断，这时 ， 系统总是不可控的。2 A为对角阵或约当阵时的可控性判据设二阶系统（约当型）的A、b矩阵为 其可控性矩阵S3的行列式为detS30系统可控，要求： 与b1是否为零无关， 意为A阵约当化且相当特征值分布在一个约当块时，只 需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是 全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行 是否为零行是无关的。u 以上判断方法可推广到A阵对角化、约当化的n阶系统 。设
8、系统状态方程（对角矩阵）为式中 为系统相异特性值。 判据：A为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行 。 当A为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用仍 应根据可控性矩阵的秩来判断。 u设系统状态方程（约当型）为：式中 为系统的二重特征值且构成一个约当块， 为系统的相异特征值。 可见： 各方程的状态变量是解耦的，上述A对角化的判据 仍适用；而 方程中既含有x1又含x2，在x2受控条件下，即使方 程 中不存在任何控制分量，也能通过x2间接传递控制作用， 使x1仍可控。 A阵约当化时的可控性判据又可表述为： u（1）输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行 不存在全零行（与约当块其它行所对应的行允许
9、是 全零行）； u（2）输入矩阵中与相异特征值所对应的行不存 在全零行。 u当A阵相同特征值分布在两个或更多约当块时，例如u以上判据不适用，应根据可控性矩阵秩来判断。u例5 下列系统是可控的，试自行说明。v例6 下列系统是不可控的，试自行说明。（1）单输入多输出系统3.可控标准形问题S3是一个右下三角阵，其主对角线元素均为1，故 detS30，系统是一定可控的。A，b称为可控标准形。一个可控系统，当A、b不具有可控标准形时，定可选 择适当的变换为可控标准形。设系统状态方程为进行P-1变换，即令 变换为要求变换矩阵P的求法： (1)计算可控性矩阵 (2)计算可控性矩阵的逆阵S3-1，设一般形式为
10、(3)取出S3-1的最后一行（即第n行）构成p1行向量 (4)按下列方式构造P阵 (5) P-1便是可化为可控标准形的变换矩阵。u 4输出可控性如果需要控制的是输出量，则需研究输出可控性。输出可控性定义为：在有限时间间隔内 ， 存在无约束的分段连续控制 函数 ，能使任意初始输出转移 至任意最终输出 ， 则称该系统是输出完全可控，简称输出可控。判据如下：设系统动态方程为 ，其状态方程的解为 其输出为 u假定 ，于是有令 u则 记 S6称为输出可控性矩阵，它是 矩阵 输出可控的充分必要条件是： 矩阵S6的秩为输出变量的数目q，即 rank S6 =qu例7 判断下列系统的状态、输出可控性。解 状态
11、可控性矩阵 为 ，故状态不可控。 输出可控性矩阵 为 ，故输出可控。1连续系统的状态可观测性 已知输入u(t)及有限时间间隔 内测量到的输出y(t)，能唯一确定初始状态x(t0)，则称系统是完 全可观测的，简称系统可观测。设多输入多输出连续系统动态方程为其解为 三.线性定常系统的可观测性假定 于是有式中Iq为q阶单位矩阵。 是qnq矩阵，nq列都是 线性无关的，于是根据n次测量得到的y(t)值可唯一确定 x(0)的充分必要条件是：矩阵V2T的秩为n，即由 ，故连续系统可观测性判据为VT2、V2均称为可观测性矩阵。若系统可观测，其(A,C)称为可观测对。u设二阶系统动态方程（对角矩阵）中A、C分
12、别为其可观测矩阵V2的行列式为2A为对角阵或约当阵时的可观测性判据时系统状态可观测，于是要求：当A有相异特征值 时，应存在C10，C20，意为A阵对角化且有相异特征值 时，只需根据输出矩阵中没有全零列即可判断系统可观测。若 时，则不能这样判断，这时 ，系统总是不可观测的。设二阶系统动态方程（约当型）中A、C分别为则显见只要C10，系统便可观测，与C2无关，意为A阵约当化且相同特征值分布在一个约当块内时，只需 根据输出矩阵中与约当块最前一列所对应的列不是全 零列，即可判断系统可观测，与输出矩阵中的其它列 是否为全零列是无关的。有时A阵的相同特征值分布在两个或更多个约当块内 时，例如:以上判断方法
13、不适用。u推广到n阶也适用的可观测判据为输出矩阵中与约当块最前一列对应的列不存在全零列（与约当块其它 列对应的列允许是全零列）。u输出矩阵中与相异特征值所对应的列不存在全零列 。u例8 下列系统可观测，试说明。u例9 下列系统不可观测，试说明。动态方程中的A、C矩阵具有下列形式3可观测标准形问题u其可观测性矩阵V2为V2是一个右下三角阵, ，系统一定可观测。 A、C矩阵称为可观测标准形。 1线性变换后系统特征值不变2变换后系统传递矩阵不变3变换后系统可控性不变4变换后系统可观测性不变四非奇异线性变换的不变性1单输入单输出系统 设系统的动态方程为， 当阵A具有相异特征值时，通过线性变换可使A对角化为五可控可观测性与传递函数（矩阵）的关系利用对角化的可控、可观测性判据可知:当 时， xi不可控；当
