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1、1第五章第五章：旋涡理论(vortex theory)本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学内容 。旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究存在旋涡运动的流场旋涡场:即流场中课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？ 为什么游泳时应避开旋涡区？ 21.漩涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强度速度环量）2.斯托克斯定理3.汤姆逊定理4.海姆霍兹定理5.毕奥沙伐尔定理6.兰金组合涡 本章讨论内容：3一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余的地方则为无旋区域。自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。有旋运动：x,y,z
2、在流场中不全为零的流动5-1旋涡运动的基本概念4龙卷风15龙卷风26海上漩涡7飞机漩涡8气旋9气旋10气旋11园盘绕流尾流场中的旋涡园盘形阻12园球绕流尾流场中的旋涡圆球形阻13园柱绕流尾流场中的旋涡圆 柱 绕 流 （ 交 替 涡 ）14有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡机 翼 失 速 ( 有 攻 角 )15流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。与压力差、质量力和粘性力等因素有关。旋涡的产生：16旋涡场的几个基本概念：涡线上所有流体质点在同瞬时
3、的旋转角速度矢量与此线相切。涡线(vortex line)：一、涡线,涡管,旋涡强度涡线微分方程：取涡线上一段微弧长该处的旋转角速度17由涡线的定义（涡矢量与涡线相切： 叉积为零），得涡线微分方程式：(5-1)若已知 ，积分上式可得涡线。与流线的积分一样，将看成参数。取定值就得到该瞬时的涡线。18涡管涡管（ vortex tube ）：在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成的管状曲面称涡管。涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无限小的涡束称为涡索（涡丝）。涡丝（vortex filament）：19龙卷风-涡线涡线20则 dnd=2nd (5-
4、2)为d上的旋涡强度-涡通量若是涡管的截面，则称为涡管强度,或涡通量 。任取微分面积d， 法线分量为沿面积分得旋涡强度：表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量(5-3)21二、速度环量（velocity circulation）某瞬时在流场中任取曲线AB：速度矢在积分路径方向的分量沿该路径的线积分。速度环量定义（54）在 向的投影微元弧AB22速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方向相同时（成锐角）为正,反之为负。线积分方向相反的速度环量相差一负号，即ABBA （55)速度环量的其他表示形式：23沿封闭周线C的速度环量C24速度环量的计算对于无旋流场:对于有旋场:1) 已知速度场，求沿一条
5、开曲线的速度环量由公式 计算252. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量对于无旋场:对于有旋场:（511）此式称为斯托克斯定理 26三、斯托克斯定理沿任意闭曲线的速度环量等于 该曲线为边界的曲面内的旋涡 强度,即 cJ（511）或斯托克斯定理：环量与旋涡强度通过线积分 与面积分联系起来了。27证 明:略上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”C 所包围的区域内全部是流体，没有固体或空洞。单连通区域：（511）28C的内部有空洞或者包含其他的物体。复连通域(多连通域)：AB线将切开，则沿周线ABB，A，EA前进所围的区域为单连通域。用斯托克斯定理有:CC 区域在走向的左侧29C 积分路线相反，
6、抵消掉了。：沿外边界逆时针的环量L ：沿内边界顺时针的环量最后有(5-13)这就是双连通域的斯托克斯定理。30反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处为零的结论。单连域内的无旋运动，流场中处处 为 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。推论一31推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流动无旋，则沿包含固体在内的任意两个封闭周线的环量彼此相等。则 有：即即 - (-与方向相反)C 32例5-1 已知如下速度分布：在r5范围内，在r5范围内，试分别求出半径为 r=3，5和10的三个圆周上 （都是逆时针方向）的 速
7、度环量3，5和10解：在S1内，因为33所以，当 r 5时，以 r为半径的圆上速度环量为3=18/5， 5=10在 S2内，经计算，有式中，5 是逆时针积分 。34例5-2 已知 a为常数。求涡线方程、沿封闭曲线的速度环量，式中，b为常数。解： (1)涡线由题设条件可得35将此结果代入涡线方程(5-1)，有积分得涡线的方程：涡线图(2) 速度环量根据斯托克斯公式积分曲线(上半圆)区域(下半圆)区域36（3）正压流体（流体密度仅为压力的函数 ）假设：（1）理想流体；（2）质量力有势；由流体质点组成的任一封闭流体周线的速度环量不随时间而变. 汤姆逊定理:（514）即5-2 汤姆逊定理37证明设设流
8、场场中所指定的某封闭闭流体周线为线为 C。在 C上取一微分长长度ds，经经dt 时间时间 后，C移到 C ，则则ds相应应地变为变为 ds，按照速度环量定义， 若对它求时间的导数，则：上式第二项积分可写成38对前式的第一项应用欧拉方程：质量力有势正压流体， 即pp()；P=有：所以可证构造函数391)速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。汤姆逊定理和斯托克斯定理说明（理想、正压 、有势力场）：2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和速度环量的，就永远无旋涡和速度环量。 拉格朗日定理：在理想、正压、质量力有势的 条件下，涡量不生
9、不灭。40注意: 贴近物体表面极薄一层要除外，由于粘性的存在，这极薄一层为有旋运动。又如绕流物体的流动，远前方流动对物体无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运动。例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运 动是无旋运动。41- 海姆霍兹定理海姆霍兹第一定理 涡管强度守恒定理（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）海姆霍兹第一定理说明涡管各截面上的旋 涡强度都相同。根据斯托克斯定理，有所以42结论： (1) 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则 时有。不可能 的情况（2）对同一个涡管来说，在 截面
10、积越小的地方，流体旋 转的角速度越大。涡管存在的形式：43海姆霍兹第二定理涡管保持定理正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。证明：涡管表面上取封闭流体周线C由斯托克斯定理知沿周线C的=0涡管由汤姆逊定理该速度环量永远为零即C所围的区域永远没有涡线通过。即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。44海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理涡管旋涡强度不随时间而变正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡管的旋涡强度，又由汤姆逊定理知该速度环量不随时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。无旋流
11、场中若存在若干孤立的涡，那么涡核以 内的有旋流和涡核以外的无旋流始终是分开的 。45第二、第三涡定理则要求运动是环量守恒 的，也就是要求：流体是理想、正压、质量 力有势的。满足这三个条件，定理成立。旋涡的改变至少有三种可能的诱发因素 ：(1)流体的粘性； (2)非正压性； (3)非有势质量力的作用第一涡定理是运动学方面的定理，只要流 体无粘性，该定理就能成立。465-4 毕奥一沙伐尔定理问题 已知速度场可由式（3-39）和（3-40）求偏导来确定旋涡场。已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其它区域全为无旋区。由旋涡引起的速度称为旋涡诱导速度场
12、。涡索（丝）、线涡、点涡47点涡位于坐标原点的点涡强度为，根据斯托克 斯定理，有点涡周围的速度场（诱导速度）48点涡也称为势涡，其诱导速度场中的流体是无旋的。公转角速度自转角速度总的旋转角速度49诱导速度公式A点有一个点涡，它在M点 产生的诱导速度vr微元体积dV中的涡量产生的诱导速度即因此，诱导速度一般公式50S 为涡索的截面积。涡索的旋涡强度J=2S=所以，前式对于直涡索，有如下几何关系51AB在M点产生的诱导速度：流体力学中毕奥沙伐尔公式的形式无限长直线涡的诱导速度52由该速度与前面点涡 的诱导速度相比较， 得：将此常数代入(5-10)式， 得到毕奥沙伐尔(Biot- Savrt)公式：
13、对于涡索对于有限长直线涡对于半无限长直线涡对于无限长直线涡53为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中 的毕奥沙伐尔定理引用过来。诱导速度场与电磁场的类比带电导线 涡丝(线)电流强度 旋涡强度诱导磁场强度 诱导速度场磁 场诱导速度场涡丝诱导的速度场的计算:54电磁学中，电流强度为的导线，其微元 导线ds对场点所产生的磁场强度由毕奥沙伐尔公式得:垂直于ds和所在的平面，按右手法则确定。: ds离场点P的矢径式中：: 是ds与的夹角dH 的方向:55流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中速度场可以看成是涡丝诱导出来的。直线涡在自身轴及其
14、延长线上各点不产生诱导速度56例5.1 如图强度相等的两点涡的初始位置，试就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。解: (a)：点：由BS定律-57B点：积分得:令时代入方程得: 1= 2= 3=- 4=-58故，两点的运动方程为:点：在(a)中，两点涡大小相等， 方向相反。点：两点涡相对位置保持不变，它们同时沿方向等速向下移动。59点：B点：开始点向上，点向下运动，形成围绕坐标原点，沿半径为的圆周的等速转动。转动的角速度为:情况 ( b )60旋涡中心点和点的运动方程为：对于：对于：61例5-2 如图所示，一形涡，强度(环量)为， 试计算该涡所在平面对称轴上M点和O点两处的 诱导速度。解
15、： 各段涡在M点的 的诱导速度是在OA段：62在A段：在M点：在O点：63例5-3 设水平面（oxy平面）内有一半径为a， 强度为G 的圆环形涡线，试求：此圆环在对称 轴线（z轴）上的诱导速度。解：（1）取对称轴为 z 轴，方向垂直向上，并取 涡环中心为坐标原点，如 图： 在圆环涡线上取一微元涡 线 ，其对z 轴上M 点 的诱导速度为：64M65M66所以，整个环形涡对M 点的诱导速度为：M675-6 兰金组合涡兰金组合涡：涡核是半径为的无限长圆柱形流体，涡量均匀分布；涡核以外的流体按点涡流场规律运 动。 即，受迫涡+自由涡。这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的， 在讨论
