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1、系统数学模型的时域表示本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。元一阶微分方程状态变量描述阶微分方程一元输入输出描述:NN2.1 2.1 引言引言系统分析过程经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与 (t)有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷积积分法: 任意激励下的零状态响应可通过 冲激响应来求。(新方法)变换域法利用卷积积分法求解零状态可利用经典法求零输入双零法经典法解方程网络拓扑约束根据元件约束列写方程:,:本章主要内容线性系统完全响应的求解； 冲激响应h(t)的求解；卷积的图解说明； 卷积的性质； 零状态响应。主要内容微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法2.2
2、 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解一微分方程的列写若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。例2-1电感电阻电容根据KCL代入上面元件伏安关系，并化简有 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压 与激励 间的关系。 RRiLLiCciab+-()()
3、tvRtiR1=( )( )d1-=tLvLti( )( )ttvCtiCdd=()()()()titititiCLRS=+()()()()ttitvLttv RttvCdd1 dd1 ddS 22 =+二n 阶线性时不变系统的描述一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之 间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。)(d)(d d)(d d)(d)(d)(d d)(d d)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnn
4、n+=+-LL三求解系统微分方程的经典法：齐次解+特解系统的特征方程为特征根因而对应的齐次解为的齐次解。例2-2：求微分方程例2-3 如果已知 求此方程的齐次解和特解。给定微分方程式齐次解形式为：特征方程为：特征根为：几种典型激励函数相应的特解激励函数e(t)响应函数r(t)的特解(2)求特解代入全解r(t) ，得：我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应 为 时的方程的解，初始条件齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。初始条件的确定是此课程要解决的问题。全 解：齐次解+
5、特解，由初始条件定出齐次解 。 =nkt kkA1ea三求解系统微分方程的经典法2.4 2.4 零输入响应和零状态零输入响应和零状态 响应响应系统响应划分对系统线性的进一步认识一、系统响应划分自由响应（齐次解）强迫响应（特解） (Natural + forced)零输入响应零状态响应 (Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)也称固有响应，由系统本身特性决定，与 外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。是指激励信号接入一段时间内，完全响应 中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。 由完全
6、响应中减去暂态响应分量即得稳态 响应分量。 (1)自由响应：(2)暂态响应：稳态响应：强迫响应：各种系统响应定义没有外加激励信号的作用，只由起始 状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 起始状态等于零（不考虑原始时刻系 统储能的作用），由系统的外加激励信号产生的响应。 (3)零输入响应：零状态响应：各种系统响应定义例2-4：已知系统方程为起始状态为：输入为：求系统自由响应与强迫响应，零输入响应与零状态响应 暂态响应与稳态响应解：特征根为-3，齐次解为由输入得特解为 1全解为：代入起始状态，得全解为：自由响应 强迫响应零输入响应为：零状态响应形式为：代入零状态，得：由起始状态得全解为：例求零输入
7、响应和零状态响应及系统全响应。解：零输入响应为：零状态响应为：输入为 时，起始状态不变，全响应为：例求零输入响应和零状态响应及系统全响应。零状态响应为：起始条件为 ，输入不变，仍为解：零输入响应为：由起始状态得全响应为：二、对系统线性的进一步认识由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。 (1)响应可分解为：零输入响应零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响 应对于各激励信号呈线性。 (3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对 于各起始状态呈线性。 零状态响应为(1)设零输入响应为, 为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为求：(1)初始条件不
8、变，当激励为 时的 全响应 当激励为 时，其全响应为已知一线性时不变系统，在相同初始条件下， 当激励为 时，其全响应为例2-5时的全响应则有 解（续）解得2.5 2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应， 称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。 一冲激响应 1定义 2一阶系统的冲激响应3n阶系统的冲激响应H( )t( )th2.一阶系统的冲激响应列系统微分方程：例2-6求下图RC电路的冲激响应。齐次方程)(tC+-)(tvC)(tiCR奇异函数项相平衡原理代入原方程整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程冲激响应求
9、导注意 ！波形)()(thtvC=tRC1Oh(t)判断系统稳定性：1. h(t)波形衰减，则系统稳定；2. h(t)波形等幅震荡，则系统临界稳定；3. h(t)波形无限增长，则系统不稳定；h(t)判断系统因果性：t0 f2(t-) 右移t 0 f2(t-) 左移-11t -1两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0O( )1f111-1 t 1时两波形有公共部分，积分开始不为0， 积分下限-1，上限t ，t 为移动时间;O( )1f111-1 t 2即1 t 2O( )1f111-2 t 4即2 t 4O( )1f111-t 4即t 4t-31O( )1f111-卷积结果Ot( )tf11
10、11-Ot( )tf2323)(tgtO2421-1卷积结果区间的确定A,BC,DA+C,B+D一般规律：上限 下限卷积结果区间-1+1例2-11 求下列两函数卷积用公式法解：总结求解响应的方法：时域经典法：双零法：零输入响应：零状态响应：完全解=齐次解 + 特解解齐次方程，用起始条件求系数； 2.7 2.7 卷积的性质卷积的性质代数性质微分积分性质与冲激函数或阶跃函数的卷积一代数性质1交换律3分配律2结合律系统并联运算系统级联运算1.系统级联：交换律系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，可交换子系统级联顺序。 )(tf)(2th)(1th)(tg)()()(12ththth*=)(tf
11、)(1th)(2th)(tg)()()(21ththth*=2.系统级联：结合律系统级联，框图表示： 时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统 冲激响应的卷积。 )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf*)()()(21ththtf*)(tg)(tf)(th请用积分器画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。例2-12 系统级联：交换律方程左端只保留输出的最高阶导数项积分 n=2 次，使方程左端只剩下r(t) 项系统框图系统框图)(te)(tr+直接I型+直接II型对于线性时不变系统 ，子系统级联顺序可 交换。66直接型所用的积分器最少，所以也称为正 准型，将正准型的加法器相加
12、即得简化的模 拟图。r(t)e( t)+67直接型+68直接型+69y(t)x(t) 直接II型)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th3.系统并联：分配律框图表示： 子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲 激响应之和。)(tg)(tf)(th例2-13图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激 响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响 应 ，并画出它的波形。 (a)(b)解：如图（c）所示 X(c)()th1( )th1()th2+()tf()tyt( )th1O11t( )th2O112t( )thO1123二微分积分性质微分性质积分性质联合使用利用微积分性质可简化卷积运算。g(t)的积分三.与冲激函数或阶跃函数的卷积例2-14 求下列两函数卷积解：例2-151111 1-)(tf)(thtt2OO1tO11 t2( )(1tf-)(thO)1()1(-O12O1211-t)(tg)()1(-f(t)ht3)1()1-2.9利用卷积积分分析通信系统多径失真的消 除方法两系统的冲激响应为：希望建立一个逆系统，使输出为e(t)：屡试法，设设以此类推，得
