《高一数学《函数的对称性》知识点的总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学《函数的对称性》知识点的总结（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学高一数学函数的对称性函数的对称性知识点总知识点总 结结一、函数自身的对称性探究定理 1.函数 y=f 的图像关于点 A 对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，点 P 关于点 A 的对称点 P（2ax，2by）也在 y=f 图像上，2by=f即 y+f=2b 故 f+f=2b，必要性得证。（充分性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，则y0=ff+f=2bf+f=2b，即 2by0=f。故点 P（2ax0，2by0）也在 y=f 图像上，而点 P 与点 P关于点 A 对称，充分性得征。推论：函数 y=f 的图像关于原点 o 对称的充要条件是 f+
2、f=0定理 2.函数 y=f 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是f=f 即 f=f（证明留给读者）推论：函数 y=f 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f=f定理 3.若函数 y=f 图像同时关于点 A 和点B 成中心对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像同时关于直线 x=a 和直线x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像既关于点 A 成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f 图像既
3、关于点 A 成中心对称，f+f=2c，用 2bx 代 x 得：f+f2a=2c（*）又函数 y=f 图像直线 x=b 成轴对称，f=f 代入（*）得：f=2cf2+x（*） ，用 2（ab）x 代 x 得f2+x=2cf4+x代入（*）得：f=f4+x,故 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理 4.函数 y=f 与 y=2bf 的图像关于点 A成中心对称。定理 5.函数 y=f 与 y=f 的图像关于直线 x=a成轴对称。函数 y=f 与 ax=f 的图像关于直线 x+y=a成轴对称。函数 y=f 与 xa=f 的图像关于直线 xy=a成轴对称。定理 4
4、与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的设点 P 是 y=f 图像上任一点，则 y0=f。记点P 关于直线 xy=a 的轴对称点为 P（x1，y1） ，则x1=a+y0,y1=x0a，x0=a+y1,y0=x1a 代入y0=f 之中得 x1a=f点 P（x1，y1）在函数xa=f 的图像上。同理可证：函数 xa=f 的图像上任一点关于直线 xy=a 的轴对称点也在函数 y=f 的图像上。故定理 5 中的成立。推论：函数 y=f 的图像与 x=f 的图像关于直线x=y 成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表注：上表中 kZy=tanx 的所有对称中心坐标应该是，而在岑申、王而冶主编的浙江
5、教育出版社出版的 21 世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为 y=tanx 的所有对称中心坐标是，这明显是错的。四、函数对称性应用举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f 为偶函数，且 f=f,则 f 一定是（） （第十二届希望杯高二第二试题）是偶函数，也是周期函数是偶函数，但不是周期函数是奇函数，也是周期函数是奇函数，但不是周期函数解：f 为偶函数，f=f.f 有两条对称轴 x=5 与 x=10，因此 f 是以10 为其一个周期的周期函数，x=0 即 y 轴也是 f的对称轴，因此 f 还是一个偶函数。故选例 2：设定义域为 R
6、的函数 y=f、y=g 都有反函数，并且 f 和 g-1 函数的图像关于直线 y=x 对称，若 g=1999，那么 f=（） 。（A）1999；（B）XX；（c）XX；（D）XX。解：y=f 和 y=g-1 函数的图像关于直线 y=x对称，y=g-1 反函数是 y=f，而 y=g-1 的反函数是:y=2+g,f=2+g,有 f=2+g=XX故 f=XX,应选（c）例 3.设 f 是定义在 R 上的偶函数，且 f=f,当1x0 时，f=x，则 f=_（第八届希望杯高二第一试题）解：f 是定义在 R 上的偶函数x=0 是 y=f对称轴；又f=fx=1 也是 y=f 对称轴。故 y=f 是以2 为周
7、期的周期函数，f=f=f=f=0.3例 4.函数 y=sin 的图像的一条对称轴的方程是（）x=x=x=x=解：函数 y=sin 的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+x=,显然取 k=1 时的对称轴方程是 x=故选例 5.设 f 是定义在 R 上的奇函数，且 f=f,当 0x1 时，f=x，则 f=（）0.50.51.51.5解：y=f 是定义在 R 上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f=f=f，即 f=f，直线 x=1 是 y=f 对称轴，故 y=f 是周期为 2 的周期函数。f=f=f=f=0.5 故选一、函数自身的对称性探究定理 1.函数 y=f 的图像关于点 A 对称的充要条件
8、是f+f=2b证明：（必要性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，点 P 关于点 A 的对称点 P（2ax，2by）也在 y=f 图像上，2by=f即 y+f=2b 故 f+f=2b，必要性得证。（充分性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，则y0=ff+f=2bf+f=2b，即 2by0=f。故点 P（2ax0，2by0）也在 y=f 图像上，而点 P 与点 P关于点 A 对称，充分性得征。推论：函数 y=f 的图像关于原点 o 对称的充要条件是 f+f=0定理 2.函数 y=f 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是f=f 即 f=f（证明留给读者）推论：函数 y=f 的图像关于 y 轴
9、对称的充要条件是 f=f定理 3.若函数 y=f 图像同时关于点 A 和点B 成中心对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像同时关于直线 x=a 和直线x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像既关于点 A 成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f 图像既关于点 A 成中心对称，f+f=2c，用 2bx 代 x 得：f+f2a=2c（*）又函数 y=f 图像直线 x=b 成轴对称，f=f 代入（
10、*）得：f=2cf2+x（*） ，用 2（ab）x 代 x 得f2+x=2cf4+x代入（*）得：f=f4+x,故 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。二、不同函数对称性的探究定理 4.函数 y=f 与 y=2bf 的图像关于点 A成中心对称。定理 5.函数 y=f 与 y=f 的图像关于直线 x=a成轴对称。函数 y=f 与 ax=f 的图像关于直线 x+y=a成轴对称。函数 y=f 与 xa=f 的图像关于直线 xy=a成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的设点 P 是 y=f 图像上任一点，则 y0=f。记点P 关于直线 xy=a 的轴对称点为 P
11、（x1，y1） ，则x1=a+y0,y1=x0a，x0=a+y1,y0=x1a 代入y0=f 之中得 x1a=f点 P（x1，y1）在函数xa=f 的图像上。同理可证：函数 xa=f 的图像上任一点关于直线 xy=a 的轴对称点也在函数 y=f 的图像上。故定理 5 中的成立。推论：函数 y=f 的图像与 x=f 的图像关于直线x=y 成轴对称。三、三角函数图像的对称性列表注：上表中 kZy=tanx 的所有对称中心坐标应该是，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的 21 世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为 y=tanx 的所有对
12、称中心坐标是，这明显是错的。四、函数对称性应用举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f 为偶函数，且 f=f,则 f 一定是（） （第十二届希望杯高二第二试题）是偶函数，也是周期函数是偶函数，但不是周期函数是奇函数，也是周期函数是奇函数，但不是周期函数解：f 为偶函数，f=f.f 有两条对称轴 x=5 与 x=10，因此 f 是以10 为其一个周期的周期函数，x=0 即 y 轴也是 f的对称轴，因此 f 还是一个偶函数。故选例 2：设定义域为 R 的函数 y=f、y=g 都有反函数，并且 f 和 g-1 函数的图像关于直线 y=x 对称，若 g=1999，那么 f=（） 。（A）1999
13、；（B）XX；（c）XX；（D）XX。解：y=f 和 y=g-1 函数的图像关于直线 y=x对称，y=g-1 反函数是 y=f，而 y=g-1 的反函数是:y=2+g,f=2+g,有 f=2+g=XX故 f=XX,应选（c）例 3.设 f 是定义在 R 上的偶函数，且 f=f,当1x0 时，f=x，则 f=_（第八届希望杯高二第一试题）解：f 是定义在 R 上的偶函数x=0 是 y=f对称轴；又f=fx=1 也是 y=f 对称轴。故 y=f 是以2 为周期的周期函数，f=f=f=f=0.3例 4.函数 y=sin 的图像的一条对称轴的方程是（）x=x=x=x=解：函数 y=sin 的图像的所有
14、对称轴的方程是2x+=k+x=,显然取 k=1 时的对称轴方程是 x=故选例 5.设 f 是定义在 R 上的奇函数，且 f=f,当 0x1 时，f=x，则 f=（）0.50.51.51.5解：y=f 是定义在 R 上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f=f=f，即 f=f，直线 x=1 是 y=f 对称轴，故 y=f 是周期为 2 的周期函数。f=f=f=f=0.5 故选一、函数自身的对称性探究定理 1.函数 y=f 的图像关于点 A 对称的充要条件是f+f=2b证明：（必要性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，点 P 关于点 A 的对称点 P（2ax，2by）也在 y=f 图像上，2b
15、y=f即 y+f=2b 故 f+f=2b，必要性得证。（充分性）设点 P 是 y=f 图像上任一点，则y0=ff+f=2bf+f=2b，即 2by0=f。故点 P（2ax0，2by0）也在 y=f 图像上，而点 P 与点 P关于点 A 对称，充分性得征。推论：函数 y=f 的图像关于原点 o 对称的充要条件是 f+f=0定理 2.函数 y=f 的图像关于直线 x=a 对称的充要条件是f=f 即 f=f（证明留给读者）推论：函数 y=f 的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f=f定理 3.若函数 y=f 图像同时关于点 A 和点B 成中心对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像同时关于直线 x=a 和直线x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且2ab 是其一个周期。若函数 y=f 图像既关于点 A 成中心对称又关于直线 x=b 成轴对称（ab） ，则 y=f 是周期函数，且 4ab 是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y=f 图像既关于点 A 成中心对称，f+f=2c，用 2bx 代 x 得：f+f2a=2c（*）又函数 y=
