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1、1第四章 一阶电路与二阶电路4.2 一阶电路的阶跃响应4.4 一阶电路对阶跃激励全响应4.5 二阶电路的冲激响应4.1 一阶电路的零输入响应4.3 一阶电路的冲激响应12学 习 目 标 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算方法 。理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的 三要素分析法。 了解二阶电路的冲击响应。23 4.1 一阶电路的零输入响应一阶电路就是只含 有一个等效动态元件 一、RC电路的零输入响应S1(t=0 ) +-U0uC(t) i(t）+-S2(t=0 ) R C右图，t=0时换路，求uc(t) t
2、0 物理过程分析1.电路方程和初始条件：2.解方程： 特征方程 ：特征根 ：通解：代入初始条件可得所以：34图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图从图可见，电容电压从初始值U0开始按指数规律衰减到0 ，电流在换路瞬间有1个跳变，从i(0-)=0跳变到 i(0+)=U0/R,然后按指数规律衰减到0。3.解的物理含义：uc及i的波形454.时间常数：换路之后，电路中各电压、电流量都是从各自的初始值开 始按照指数规律衰减到0，那么衰减速率与什么有关？a. 电容C越大，电容中存储的电荷越多，放电的时间越长b. 电阻R越大，放电电流越小，放电时间越长。所以各个电量衰减速率与R和C的乘积即 有关。越小，
3、衰减速率越快，反之，则慢。U0只是影响瞬时值 ， 而不影响衰减速率。令=RC，它具 有时间的量纲，即 故称为时间常数t0 t056 t0 当 时：即每过时间 ，电容上的电压就降为初始值的0.368，这样一般认为经过 动态过程就结束了，此时电压降为初始值的 ，可见，RC电路的零输入响应就是电容电压从非0初始值按指数规律衰减到零的过程 。67 二、RL电路的零输入响应右图t=0时换路求iL(t) t0S1(t=0 )+-IS=I0uL(t)iL(t ）R1.电路方程和初始条件2.解方程特征方程：特征根：通解：代入初始条件可得78图3-6 RC 电路零输入响应 电压电流波形图从图可见，电感电流从初始
4、值I0开始按指数规律衰减到0 电感电压在换路瞬间有1个跳变，从uL(0-)=0跳变到 uL(0+)=-I0R,然后按指数规律衰减到0。3.解的物理含义：iL及u的波形894.时间常数a.电感L越大，电感中存储的磁能越多，放电的时间越长b.电阻R越小，电阻上消耗的热能越小，放电时间越长。RC电路：RL电路：R多数情况下是等效电阻。910 例1：求换路后的零输入响应i(t)和u0(t)：S1(t=0 )+-200VuC(t)i(t）+-600.02uF40602080+-u0(t)换路前为直流电路，电容开路分析：换路后电容两端看进去的等效电阻时间常数-+-uC(0)i(0）600.02uF6020
5、80+u0(0)由下图零输入响应：1011 例2： , 求i(t)R=1L=4HR=30.5UU(t)I1分析： 1.先求等效电阻Req: I1=I+0.5u由KVL得：U=3*I+0.5u+I *10.5U=4I Req=U/I=82.求3.求i(t):4.求u(t)11124.2 一阶电路的零状态响应:阶跃响应4.2.1 单位阶跃电压或电流激励下的零状态响应uc(t)Ric(t )C+_iR(t )图示一阶RC电路，电容处于零状态， 求电路中的响应。物理过程分析 ：理论求解 ：1.列方程：当t0时，方程为：1213 2.解方程：a.求齐次方程 的通解。通解为：b.求特解，特解与输入的形式有
6、关，设： 并代入到原方程中可得：所以特解为：所以代入初始条件得所以电容电压的阶跃响应就是电压从0初始状态按 指数规律增加到稳态值的过程。 1314 3.电路中其他电量的求解：a. 电阻电流：b.电容电流：4.波形：5.以上讨论是针对RC电路的，对于RL电路同样适用，它们是对偶关系。 6.比例性、叠加性。多个电源作用：叠加原理；戴维宁。1415 例1：图示电路，求： 和i2(t)R2LR3R1i1(t)分析： 1.先求从L看进去的等效电阻Req:2.求开路电压uoc(t)：3.原电路等效为右图：Reqi2(t)L 4.直接按规律求i2(t): 零状 态响 应1516i(t)1mA4K 6K1vU
7、c(t)例2：图示电路，已知电容初始电压为零，各电源均于t=0时作 用于电路，求i(t)，电容大小为 。分析 ：电容初始电压为零，为零状态响应。 电容电压为从零上升到新稳态值的 过程。 1.叠加原理求电容电压新稳态值：电流源单独作用下：2.4v电压源单独作用下：0.6v故：2.化为戴维南等效电路，如上例求i(t)：利用KCL、KVL1617例3：图示电路，电感原未储能，t=0时开关闭合，求 时的iL(t)。i(t)iL(t)151.2410H18v分析：属于零状态响应。abUabo=18-1.2*18/7.2=15V Rab=4+(6/1.2)=51718 例4：求图 (a)电路的阶跃响应 u
8、C 先将电路ab左端的部分用戴维南定 理化简，由图 (a)可得 分析：将ab端短路，设短路电流为 ISC（从a流向b） 3u1+u1=0 u1=0 18194.2.2 延时单位阶跃函数激励下的零状态响应线性电路的非时变性：电路的参数不随时间而变化的电路，其输出响应的波形与激励施加于电路的时间无关，仅仅只是延时而已。电路的非时变性可以应用于求解分段常量信号作用 下的一阶电路的零状态响应。 1920 例如：电路的激励源是一个矩形脉冲，求：零状态响应。Ric(t )C+_uc(t)iR(t )分析：矩形脉冲可以表示为：此电路的单位阶跃响应为：由齐次性：由非时变性：由叠加性：2021例：图示方框为线性
9、无源网络，当在端口11加一单位 阶跃电压，而22开路时， ，在22加一单位 阶跃电流源，而端口11短路时 ，现将 11加电压源us(t)，22加电流源is(t),波形如下，求N分析对应于us(t)的响应分量：对应于is(t) 的响应分量：21224.3 一阶电路的零状态响应冲激响应4.3.1 RC电路的冲激响应一阶RC电路，电容处于零状态， 求电路中的响应。 分析A. 当t0时， ，单位冲激电流源相当于开路，已经充电的 电容通过电阻放电，所以电路的响应相应地变为零输入响应。ic(t )RC+_uc(t)iR(t )2223综合A、B、C三个过程，可得零状态条件下，电容电压的 冲激响应为：可见：
10、冲击函数作用下，电容瞬间获得非零的初始状态， 然后由该初始状态产生零输入响应。ic(t )RC+_uc(t)iR(t )23246ic(t )0.1F+_uc(t)iR(t )3例1：求图示电路中的uc(t)：分析：当t0时，冲击函数为零，冲击电压源相当于短路：24258kuc(t )20k12k5uFic(t )例2：图示电容原未充电， 求uc(t)和ic(t)。分析：当t0时，电流源开路，电容放电。2526 4.3.2 RL电路的冲激响应：与RC电路的对偶关系当t0时，+-uL(t)i(t ）R+-26272iL(t )1H+_uL(t)iR(t )1例：求图示电路的冲激响应uL(t)和i
11、L(t)：分析：当t0时，冲击电流源断开，27284.3.3 冲激响应与阶跃响应的关系NN设电路的冲激响应为h(t)，电路的阶跃响应为g(t)， 由于冲激函数和阶跃函数的关系为：由此可以推想一个电路的冲激响应h(t)和阶跃响应g(t)是否 也存在如下的关系：2829 证明：设一个矩形脉冲激励p(t) ，作用于一个线性电路上，电路原来处于零状态，设电路的阶跃响应为g(t)，由于p(t)可以表示为 ： 根据线性电路的齐次性、可加性、非时变性，在p(t)作用下电路的零状态响应为： 由上图可见，当 时，有 这个脉冲激励p(t) 作用于电路产生的零状态响应为：即：一个线性电路的冲激响应是该电路阶跃响应的
12、导数，反之阶跃响应是冲激响应的积分。2930冲激响应和阶跃响应之间存在积分和微分的关系，所以：1、一阶电路冲激响应可由已知的阶跃响应对时间求导得到 。2、一阶电路阶跃响应可由已知的冲激响应对时间积分得到 。R L+_uL(t)iR(t )例如右图：求冲激响应 容易知道其阶跃响应为：若直接求 当t0时， ，由此可见：两种方法求得的冲激响应相同。30314.4 一阶电路对阶跃激励的全响应含义：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产 生的响应，叫全响应。如图所示，设 uC =uC(0-)=U0，S在t=0时闭合 ，显然电路中的响应属于全响应。3132 4.4.1 阶跃激励全响应的求解_Ric(t )
13、C+ uc(t)iR(t )S(t=0)右图电容初始电压 求uc(t)对t0的电路，以uC为求解变量可 列出描述电路的微分方程为:将上式与描述零状态电路的方程式比较，仅只有初始条件不同，因此其解必具有类似的形式：代入初始条件可得：所以全响应：3233分析电容电压全响应：1、当IS=0时，即为RC零输入电路的微分方程。2、当U0=0时，即为RC零状态电路的微分方程。这一结果表 明，零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特殊情况。上式的全响应公式可以有以下两种分解方式。自由响应稳态响应 零输入响应零状态响应线性动态电路的叠加定理3334 电容电压：0状态响应 0输入响应3435例：已知uc(0-)
14、=80V,求uc(t)，t0。分析：先求从电容两端看进去的等效电阻_+2ic(t )4uF+ uc(t)+_U零输入响应：零状态响应：35364.4.2 阶跃激励全响应的三要素法稳态值初始值时间常数三要素36373738用三要素法求解直流电源作用下一阶电路响应的步骤如下 ：一、 确定初始值 f (0+) 在换路前的稳态电路中确定原始状态由换路定则确定初始状态在t=0+等效电路中求f(0+)二、 确定稳态值在换路后的稳态电路中求。 C：开路；L：短路三、 确定时间常数在自然响应的等效电路中求。 从C或L处看进去求等效电阻。最后写响应的 表达式3839例1：图示电路，换路前电路已稳定，求换路后的和
15、 。 分析： 用三要 素法。1.开关闭合前t=0-时电感的电流：由换路定则： 画t=0+时刻的等效电路，iL(t)R2LR3R1i1(t)+-3vR1R2R31.2Ai(0+)2.画换路后的稳态电路-+3vR1R2R3i( )iL( )3.求时间常数：4.求响应：3940例2：图示电路， 求换路后的 。RC2C1iR(t)S(t=0)i1(t)i2(t)uC1(t)uC2(t)分析：A 换路后，由KVL，必须有：节点A处电量不能突变，否则：（一）（二）电容电压的稳态值 （三）电路的时间常数4041例3：图示电路中，内部只含电源及电阻，若的电压源于t=0时作用于电路，输出端所得的零状态响应为，若把电路中的电容换为的 电感，求输出端的零状态响应。Uo(t)1V分析：当电路中是电容元件时，当电路中换为
