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1、20092009 届高考数学压轴题预测届高考数学压轴题预测专题七 应用性问题应用性问题1.近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产量达到 670兆瓦，年生产量的增长率为 34%以后四年中，年生产量的增长率逐年递增 2%（如，2003年的年生产量的增长率为 36%） （1）求 2006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%，到 2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生
2、产量的 95%） ，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%）？分析：本题命题意图是考查函数、不等式的解法等基础知识，考查运用数学知识分析解决 问题的能力。解析（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 8 .249942. 140. 138. 136. 1670(兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则441420(1)95%2499.8(142%)x 解得0.615x因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5
3、 .61点评：审清题意，理顺题目中各种量的关系是解决本题的关键。 2.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a元（35a）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（911x）时，一年的销售量为2(12)x万件 （）求该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值( )Q a分析：本题命题意图是考查函数的解析式的求法、利用导数求最值、导数的应用等知识， 考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 解析：（）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：2(3)(12)91
4、1Lxaxx ，（）2( )(12)2(3)(12)L xxxax (12)(1823 )xax，令0L 得263xa或12x （不合题意，舍去） 35a ，2288633a在263xa两侧L的值由正变负所以（1）当28693a即932a 时， 2 max(9)(93)(129)9(6)LLaa （2）当2289633a即952a时， 23max2221(6)631264 33333LLaaaaa ，所以399(6)32( )194 3532aaQ a aa， ， 答：若932a ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润L最大，最大值( )9(6)Q aa（万元） ；若952a，则当每件售
5、价为263a元时，分公司一年的利润L最大，最大值31( )4 33Q aa（万元） 点评：准确进行导数运算，掌握运用导数判断函数单调性及求函数极值、最值的方法是解 决此题的关键。 3.（07 安徽文理）某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金， 数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d0） ，因此，历年所交纳的储务金数 目a1，a2，是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采 用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r0） ，那么，在第n年末， 第一年所交纳的储备金就变为a1（1r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1r）
6、a2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（）写出Tn与Tn1（n2）的递推关系式； （）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列， Bn是一个等差数列. 分析：本小题命题意图主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学 生的阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，考查应用所学的知识分析和解决实际问 题的能力。解析：（1）我们有nnnarTT)1 (1（2n）（2）11aT ，对2n反复使用上述关系式，得：nnnarTT)1 (1nnnararT)1 ()1 (12 2nnnnararara)1 ()1 ()1 (12 21 1。在式两边同乘以r1，得：)1 ()1 ()1 (
7、)1 ()1 (11 21rarararaTrnnnn n由，得nnnn narrrdrarT)1 ()1 ()1()1 (21 1nnnararrrd)1 (1)1(1，即 21 21)1 (rdra rdnrrdraTn n。如果记n nrrdraA)1 (21，21 rdra rdnBnnrd rdra21，则nnnBAT，其中 nA是以)1 (21rrdra为首项，以)0(1rr为公比的等比数列； nB是以rd rdra21为首项，以rd为公差的等差数列。点评：掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、以 及求和方法是解决此题的关键。4. 如图，甲船以每小时 302海里的速度向正北方向航
8、行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时，乙船位于 甲船的北偏西 105方向的B1处，此时两船相距 20 海里.当 甲船航行 20 分钟到达A1处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B1处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？（07 山东理） 分析：本题命题意图是通过实际问题考查了正弦定理、余弦 定理、解三角形的能力以及分析解决问题的能力。解析：如图，连结12AB，2210 2A B ，122030 210 260A A ， 122A A B是等边三角形，1121056045B AB ，在121AB B中，由余弦定理得222 12111211122cos45B BA
9、BABABAB，22220(10 2)2 20 10 22002 ，1210 2.B B 因此乙船的速度的大小为10 26030 2.20答：乙船每小时航行30 2海里.点评：连接12AB，构造两个可解的三角形122A A B与121AB B是处理此题的关键，此外，还可连接21A B来解。5.某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序工序产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8概 率的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级.对每种产品，两道工序的 加工结果都为 A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（）已知甲、乙两种产品每一道工
10、序的加工结果为 A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率 P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用 、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求 、 的分布列及 E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人 40 名，可用资.金 60 万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，yExEz最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）分析：本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的 建立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力解析（）解：. 6
11、 . 08 . 075. 0,68. 085. 08 . 0乙甲PP（）解：随机变量、的分别列是, 2 . 432. 05 . 268. 05E . 1 . 24 . 05 . 16 . 05 . 2E（）解：由题设知 . 0, 0,4028,60105yxyxyx目标函数为 .1 . 22 . 4yxyExEz作出可行域（如图） ，作直线: l , 01 . 22 . 4yx将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点 M 点与原点距离最大，此时yxz1 . 22 . 4 取最大值. 解方程组 .4028,60105 yxyx等级产品一等二等甲5（万元）2.5（万元）乙2.5（万元）
12、1.5（万元）利 润项目产品工人（名） 资金（万元）甲88乙210用 量52.5P0.680.322.51.5P0.60.4得. 4, 4yx即4, 4yx时，z 取最大值，z 的最大值为 25.2 .点评：6.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元，表示经销一件该商品的利润。 （）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率( )P
13、A；（）求的分布列及期望E。分析：本题命题意图是主要考察对立事件的概率以及分布列及期望的知识，考查学生的 阅读理解能力及分析解决问题能力。 解析：（）由A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”知A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”2( )(1 0.4)0.216P A ，( )1( )1 0.2160.784P AP A （）的可能取值为200元，250元，300元(200)(1)0.4PP，(250)(2)(3)0.20.20.4PPP，(300)1(200)(250)1 0.40.40.2PPP 的分布列为 200250300 P0.4
14、0.40.2200 0.4250 0.4300 0.2E240（元） 点评：掌握对立事件的概率和为 1，学会用间接法求解概率问题。 7.某人在一山坡 P 处观看对面山项上的一座铁 塔，如图所示，塔高 BC=80（米） ，塔所在的山 高 OB=220（米） ，OA=200（米） ，图中所示的山坡可视为直线l且点 P 在直线l上，l与水平地面的夹角为 , 21tan试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC 最大（不计此人的身高） 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则 A（200，0） ，B（0，220） ，C（0，300） ，直线l的方程为,tan)200( xy即 .2200xy 设点 P 的坐标为（x，y） ， 则).200)(2200,(xxxP 由经过两点的直线的斜率公式 ,28003002200xx xxkPC.26402202200xx xxkPB 由直线 PC 到直线 PB 的角的公式得，640160288642640 2800121601tan2xxxxx xxx kkkkBPCPCPBPCPB).200( 28864016064 xxx要使 tanBPC 达到最大，只须288640160xx达到最小，由均值不等式,2886401602288640160xx当且仅
