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1、范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹 波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？(3)在缝宽一定的情况下，波长 分别为750nm、540nm和440nm的红光、绿光和蓝光以及三种混 合光的衍射条纹的分布规律是什么？ 解析(1)如图所示，单缝AB的宽度 为a，其长度方向垂直于屏幕。单缝内AB间各点的子波源都具有同一 相位，由于透镜不产生附加的光程差， 从单缝上各点到达O点的光线所经过的 几何路程不同，却有相同的光程。单缝上各子波源发
2、出 的子波到达O点后仍然 具有相同的位相，从 而干涉互相加强。平行光垂直入射到狭缝上， 通过单缝之后，光线经过透 镜L会聚在屏幕上某点F。单缝中心O处出现一条与单缝平行的亮条纹，即中央明条纹。FA单缝aLOB波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 如图所示，设 = asin，用与AC平行的平面将BC分割成 许多等长的小段，使每一段长 度均为/2。那么，这些平面也 将单缝AB分割沿缝长的长条带 。每对相邻长条带上的对应点沿 方向发出的平行光线之间的光程 差均为/2，对应的位相差为。称为衍射
3、角，是BF与AF之 间的光程差，代表AB之间所 有点光源的最大光程差。相邻两半波带上所有子 波在屏幕F点的干涉叠 加是相互抵消的。y单 缝aLOABCF/2缝长f因此，这样的长 条带称为半波带 。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 如果BC满足如下条件(k = 1，2，3，)可见：AB间最大光差等于入射光半 波长的偶数倍时，也就是单缝被分 割成偶数个半波带时(最少2个)，y单 缝aLOABCF/2缝长fk =1，2，3，的条纹分 别称为第一级暗
4、条纹， 第二级暗条纹，第三级 暗条纹，式中的正 负号表示条纹关于中央 明条纹是对称分布的。根据相邻半波带干涉相消的原则， 对于满足上式的衍射角为的光线 ，在屏幕上干涉叠加的结果为零。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 如图所示，如果BC满足条件(k = 1，2，3，) 即：AB间最大光程差等于入射光 半波长的奇数倍时，单缝被分割 成奇数个半波带时(最少3个)， k = 1，2，3，的条纹 分别称为第一级明条纹 ，第二级明条纹，第三 级明条纹，正
5、负号 表示条纹关于中央明条 纹是对称分布的。y单缝aLOABCF/2缝长f根据相邻半波带干涉相消的原则 ，对于满足上式的衍射角为的光 线在屏幕上干涉叠加，总有一个 半波带上的子波发出的光线不能 被抵消，因此总的叠加结果就不 会为零，从而形成明条纹。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(k = 1，2，3，)如果衍射角不满足上面两式，也就是说:在这些方向上单缝既 不能分割成偶数个半波带，也不能分割成奇数个半波带，两个公式给出的分别是明条纹和暗条纹的
6、中心位置。(k = 1，2，3，)明条纹的宽度就是两条暗条纹之间的距离 。则屏幕上对应位置的的光强介于极大和极小 之间，使得明条纹在屏幕上延伸一定的宽度 。注意：单缝衍射暗条纹形成条件与双缝干涉明条纹形成条件k = dsink = k在形式上是相同的；单缝衍射明条纹形成条件与双缝 干涉暗条纹形成条件k = dsink = (2k - 1)/2类似。暗纹明纹这是因为 条纹形成 的理论不 同。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？ 半波带法可定性说明明
7、暗条纹的分 布规律，但是不能解释光强的分布 。 如图所示，将缝分为n等份， 每一份都是一个面光源，面 光源上每一点都是子光源。 在方向，相邻面元之间的光 程差为 = /n = asin/n，利用振幅矢量法可得光强的公式。相位差为假设每一个面元在F点引起的光波振幅为A， 根据多个等幅同频振动的合振幅公式(5.11.10)，y单缝aLOABCF所有面元在F点 产生的振幅为范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？y单缝aLOABCFF点的 光强为其中I0
8、= A02 。 当0时，u0，因此II0。I0是最大光强，称为主极大。单缝衍射中间的明纹是中央明纹，主极大是明纹中心的光强。由于很小，所以sin = ，因此其中A0 = nA，u = asin/。振幅相位差范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍 射称为夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析 衍射明暗条纹的分布规律。在什么地方光强最大？光强当u = k时(k = 1，2，3，)，即asin = k时，I = 0，这是暗纹中心的光强。 k是暗纹的级次，暗 纹中心的角位置为当k = 1时，1 = arcsin(/a)，这是第1级暗纹中心角位置。
9、中央明纹的角宽度为0 = 2arcsin(/a)， 在两个相邻的暗纹之间还存在着明纹，称为次级明纹。令dI/du = 0，可得超越方程tanu = u， 如果求得超越方程的解uk， 则次级明中心的角位置为次级明纹的角宽度 大约为中央明条纹 的角宽度的一半。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹超越方程tanu = u的前三个正解是4.49、7.73 和10.9，或者是1.43、2.46和3.47。解的编号n越大，其解越接近于(n + 0.5)。单缝的夫琅禾费衍射的 光强是偶函数，中间有 一个很高峰，主极大的 相对强度取为1。三个次极大的相对强 度分别为0.0472、 0.0165和0.008
10、34。同级的次极 大关于中央 明条纹是对 称分布的。各个次极在在u =1.34、2.46和 3.47处，可见：一个次极大的左 右并不对称，峰值偏向中央明纹 。中央明 条纹亮 度特别 大，次 级明纹 的亮度 随级次 的增加 而迅速 降低。中央 明条 纹的 宽度 是次 级明 条纹 宽度 的2 倍。波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为 夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？中央明纹的角宽度为0 = 2arcsin(/a)，解析(2)根据公式可知：当单色光的波长一定时，缝 越
11、小，中央明纹的角宽度就越大，表示衍射越明显。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹将波长取为700nm， 当缝宽为10-5m时，中 央明纹的跨度很大， 衍射现象十分明显。当缝宽为10-3m，中央明 纹之外还有一些次级明 纹，它们离中央明比较 近，衍射现象不太明显 。当缝宽为10-4m时， 在1度的范围内，除 了中央明纹之外，还 有两对次级明纹，衍 射现象也比较明显。当缝宽为10-2m，次级 明纹紧靠中央明纹，中 央明纹的宽度很小，衍 射现象很不明显。当缝宽很小时，干涉条纹很宽；当缝宽很大时，干 涉条纹缩成了缝的形状，此时光线按直线传播。波长为的单色光，平行通过宽度为a的单缝，产生的衍射称为
12、夫琅禾费单缝衍射。(1)说明半波带理论，分析衍射明暗条纹的 分布规律。在什么地方光强最大？(2)在波长一定的情况下，不 同缝宽的衍射条纹有什么差别？(3)在缝宽一定的情况下，波长 分别为750nm、540nm和440nm的红光、绿光和蓝光以及三种混 合光的衍射条纹的分布规律是什么？解析(3)根据公式可知：当缝宽一定时，单色 光的波长越大，中央明纹的角宽度就越大，其 他明纹的角宽度也越大，表示衍射越明显。白光中包含各种波长的单色光， 通过单缝衍射，会产生彩色光谱 。中央明纹的角宽度为0 = 2arcsin(/a)。范例7.5 夫琅禾费单缝衍射的强度和条纹缝宽取10-4m，红光 的波长比较大，中 央明条纹比较宽。红光的波长最大， 中央明条纹最宽；当三种光混合在一起通过单缝时，中央明条纹的中间部分由蓝色、绿色和红色混合成 白色条纹，其宽度与蓝色的中央明条纹的宽度相同，而绿色与红色混合成黄色。次级 明条 纹中 三种 颜色 相互 错开 ，形 成彩 色光 谱。蓝光的波长最短， 中央明条纹最窄。
