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1、第1章 时域离散信号和时域离散系统 第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1 引言 信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。第1章 时域离散信号和时域离散系统 本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和
2、典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍模拟信号数字处理方法。 第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2 时域离散信号对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 第1章 时域离散信号和时域离散系统 这里n取整数。对于不同的n值， xa(nT)是一个有序的数字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，该数字序列就是时域离散信号。实际信号处理中，这些数字序 列值按顺序放在存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，采样间隔可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以称为序列。对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。需
3、要说明的是，这里n取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即x(n)=xa(nT)， -n(1.2.2) 第1章 时域离散信号和时域离散系统 信号随n的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。如果x(n)是通过观测得到的一组离散数据，则其可以用集合符号表示，例如：x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.2.1 常用的典型序列1. 单位采样序列(n) 1，n=00，n0 (1.2.3)单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t
4、=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。 第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列； (b)单位冲激信号 第1章 时域离散信号和时域离散系统 2. 单位阶跃序列u(n) 1,n00,n0 (1.2.4)单位阶跃序列如图1.2.2所示。它类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。(n)与u(n)之间的关系如下式所示： (n)=u(n)-u(n-1) (1.2.5) (1.2.6) 令n-k=m，代入上式得到第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.2 单位阶跃序列 第1章 时域离散
5、信号和时域离散系统 3. 矩形序列RN(n) 1, 0nN-1 0， 其它n (1.2.8) 上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式： RN(n)=u(n)-u(n-N) (1.2.9) (1.2.7)RN(n)= 第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.3 矩形序列 第1章 时域离散信号和时域离散系统 4. 实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。 第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.2.4 实指数序列 第1章 时域离散信号和时域离散系统 5.
6、正弦序列x(n)=sin(n)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值 之间变化的弧度数。 如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(t)xa (t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n)第1章 时域离散信号和时域离散系统 因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T (1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式： (1.2.11)第1章
7、 时域离散信号和时域离散系统 6. 复指数序列x(n)=e(+j0)n式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=e j0nx(n)=cos(0n)+jsin(0n) 由于n取整数，下面等式成立：e j(0+2M)n= e j0n, M=0,1,2第1章 时域离散信号和时域离散系统 7. 周期序列如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -0时称为x(n)的延时序列；当n0 0时，序列右移；n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0，求输出序列y(n)。解 n=1时，n=0时，n=-1时， n=-n时，y(n-
8、1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2y(n-1)=-a n-1将n-1用n代替，得到y(n)=-anu(-n-1)第1章 时域离散信号和时域离散系统 例1.4.3 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性非时变系统。解 如果系统具有线性非时变性质，必须满足(1.3.4)和(1.3.5)两式。下面通过设输入信号x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)和x3(n)=(n)+(n-1)来检验系统是否是线性非
9、时变系统。 (1)x1(n)=(n)，y1(-1)=1y1(n)=ay1(n-1)+(n)这种情况和例1.4.1(2)相同，因此输出如下式：y1(n)=(1+a)anu(n)第1章 时域离散信号和时域离散系统 (2) x2(n)=(n-1)，y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时， n=n时， y2(0)=ay2(-1)+(-1)=ay2(1)=a y2(0)+(0)=1+a2y2(2)=a y2(1)+(1)=(1+ a2)ay2(n)=(1+ a2)a n-1y2(n)=(1+ a2)a n-1 u(n-1)+a(n)第1章 时域离散信号和时域
10、离散系统 (3) x3(n)=(n)+(n-1); y3(-1)=1y3(n)=a y3(n-1)+(n)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时， n=n时，y3(0)=a y3(-1)+(0)+(-1)=1+ay3(1)=a y3(0)+(1)+(0)=1+a+a2y3(2)=a y3(1)+(2)+(1)=(1+a+ a2)ay3(n)=(1+a+ a2)a n-1y3(n)=(1+a+ a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)(n) 第1章 时域离散信号和时域离散系统 由情况(1)和情况(2)，得到y1(n)=T(n)y2(n)=T(n-1)y2(n)y1(n-1)因此该系统不是时不
11、变系统。再由情况(3)得到y3(n) =T(n)+(n-1)T(n)+T(n-1)y3(n)y1(n)+y2(n)第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.5 模拟信号数字处理方法 在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理 方法。其原理框图如图1.5.1所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。 第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.1 模拟信号数字处理框图 第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.5.1 采样定理及A/D变换器 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在 D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。 第1章 时域离散信号和时域离散系统 图1.5.10 零阶保持器的频率特
