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1、4.3 向量组的线性相关性向量组及其线性组合定义：n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的 数组称为n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量 行向量和列向量总被看作是两个不同的向 量所讨论的向量在没有指明是行向量还是列 向量时，都当作列向量本书中，列向量用黑色小写字母 a, b, a, b 等表示，行向量则用 aT, bT, aT, bT 表示定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组 当R(A) 0l施瓦兹兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, yx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn
2、 yn = xT y内积积具有下列性质质（其中 x, y, z 为为 n 维维向量，l 为实为实 数）：l对对称性： x, y = y, xx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积积具有下列性质质（其中 x, y, z 为为 n 维维向量，l 为实为实 数）：l对对称性： x, y = y, xl线线性性质质： l x, y = lx, yx + y, z = x, z + y, z x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积积具有下列性质质（其中 x, y, z 为为 n 维维向量，l 为实为实 数）：l对对称性： x
3、, y = y, xl线线性性质质： l x, y = lx, yx + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时时， x, x 0x, x = x12 + x22 + + xn2 0x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = xT y内积积具有下列性质质（其中 x, y, z 为为 n 维维向量，l 为实为实 数）：l对对称性： x, y = y, xl线线性性质质： l x, y = lx, yx + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时时， x, x = 0；
4、当 x 0（零向量） 时时， x, x 0l施瓦兹兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y回顾顾：线线段的长长度x1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO若令 x = (x1, x2)T，则若令 x = (x1, x2, x3)T，则x, x = x12 + x22 + + xn2 0 向量的长长度定义义：令称 | x | 为为 n 维维向量 x 的长长度（或范数）当 | x | = 1时时，称 x 为为单单位向量向量的长长度具有下列性质质：n非负负性：当 x = 0（零向量） 时时， | x | = 0；当 x0（零向量） 时时， | x | 0n齐齐次性： | l x |
5、 = | l | | x | 向量的长长度定义义：令称 | x | 为为 n 维维向量 x 的长长度（或范数）当 | x | = 1时时，称 x 为为单单位向量向量的长长度具有下列性质质：n非负负性：当 x = 0（零向量） 时时， | x | = 0；当 x 0（零向量） 时时， | x | 0n齐齐次性： | l x | = | l | | x |n三角不等式： | x + y | | x | + | y |xyx + y y向量的正交性施瓦兹兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, y = | x | | y |当 x 0 且 y 0 时时，定义义：当 x 0 且 y 0 时
6、时，把称为为 n 维维向量 x 和 y 的夹夹角 当 x, y = 0，称向量 x 和 y 正交结论结论 ：若 x = 0，则则 x 与任何向量都正交xy定义义：两两正交的非零向量组组成的向量组组成为为正交向量组组 定理：若 n 维维向量a1, a2, , ar 是一组组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线线性无关证证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量），那么0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar= k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar= k1 a1, a1 + 0 + +
7、 0 = k1 |a1|2从而 k1 = 0同理可证证，k2 = k3 = = kr =0综综上所述， a1, a2, , ar 线线性无关例：已知3 维维向量空间间R3中两个向量 正交，试试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交分析：显显然a1a2 解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1a3 ， a2a3 ，则则a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0得从而有基础础解系 ，令 定义义： n 维维向量e1, e2, , er 是向量空间间 中的向量， 满满足 e1,
8、e2, , er 是向量空间间 V 中的一个基（最大无关组组）； e1, e2, , er 两两正交； e1, e2, , er 都是单单位向量， 则则称 e1, e2, , er 是V 的一个规规范正交基例：是 R4 的一个规规范正交基也是 R4 的一个规规范正交基是 R4 的一个基，但不是规规范正交基设设 e1, e2, , er 是向量空间间 V 中的一个正交基，则则V 中任意 一 个向量可唯一表示为为 x = l1e1 + l2e2 + + lrer于是特别别地，若 e1, e2, , er 是V 的一个规规范正交基，则则问题问题 ： 向量空间间 V 中的一个基 a1, a2, , a
9、r 向量空间间 V 中的一个规规范正交基 e1, e2, , er求规规范正交基的方法第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过过程 设设 a1, a2, , ar 是向量空间间 V 中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基正交基规规范正交基b1c2a2b2返回令 c2 为为 a2 在 b1 上的投影，则则 c2 = l b1 ， 若令 b2 = a2 c2 = a2 l b1 ，则则 b1b2 下面确定l 的值值因为为所以 ，从而a2b1 第一步：正交化施密特（Schimidt）正交化过过程 设设 a1, a2, , ar 是向量空间间 V 中的一个基，那么令于
10、是 b1, b2, , br 两两正交，并且与a1, a2, , ar 等价，即b1, b2, , br 是向量空间间 V 中的一个正交基特别别地，b1, , bk 与a1, , ak 等价（1 k r）第二步：单单位化 设设 b1, b2, , br 是向量空间间 V 中的一个正交基，那么令因为为从而 e1, e2, , er 是向量空间间 V 中的一个规规范正交基例：设设 ，试试用施密特正交 化过过程把这组这组 向量规规范正交化解：第一步正交化，取例：设设 ，试试用施密特正交 化过过程把这组这组 向量规规范正交化解：第二步单单位化，令例：已知 ，试试求非零向量a2, a3 ，使a1, a2
11、, a3 两两正交.解：若a1a2 ， a1a3 ，则则a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即a2, a3 应满应满 足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础础解系为为把基础础解系正交化即为为所求（以保证证 a2a3 成立）定义义：如果 n 阶阶矩阵阵 A 满满足 ATA = E， 则则称矩阵阵 A 为为正交矩阵阵，简简称正交阵阵 即 A1 = AT，于是从而可得n方阵阵A 为为正交阵阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单单位 向量，且两两正交 即 A 的列向量组组构成Rn 的规规范正交基
12、 定义义：如果 n 阶阶矩阵阵A 满满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则则称矩阵阵A 为为正交矩阵阵，简简称正交阵阵n方阵阵A 为为正交阵阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单单位向 量，且两两正交即 A 的列向量组组构成Rn 的规规范正交基.因为为ATA = E 与AAT = E 等价，所以定义义：如果 n 阶阶矩阵阵A 满满足 ATA = E，即 A1 = AT， 则则称矩阵阵A 为为正交矩阵阵，简简称正交阵阵 n方阵阵A 为为正交阵阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单单位向 量，且两两正交即 A 的列向量组组构成Rn 的规规范正交基n方阵阵A 为为正交阵阵的充分必要条件是 A
13、 的行向量都是单单位向 量，且两两正交 即 A 的行向量组组构成Rn 的规规范正交基.例：正交矩阵R4 的一个规规范正交基正交矩阵阵具有下列性质质： 若 A 是正交阵阵，则则 A1 也是正交阵阵，且|A| = 1 或1 若 A 和B是正交阵阵，则则 A 和 B 也是正交阵阵定义义：若 P 是正交阵阵，则线则线 性变换变换 y = Px 称为为正交变换变换 经过经过 正交变换变换 ，线线段的长长度保持不变变（从而三角形的形状保持不变变），这这就是正交变换变换 的优优良特性表示一个从变量 到变量 线性变换，其中 为常数.n 个变量 与 m 个变量 之间的关系式第六章二次型与二次曲面对应 投影变换
14、例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换 例 2阶方阵 n解析几何中，二次曲线线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0通过选择过选择 适当的的旋转变换转变换使得 mx 2 + ny 2 = 0 定义义：含有 n 个变变量 x1, x2, , xn 的二次齐齐次函数称为为二次型令 aij = aji，则则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是对对称阵阵对对称阵阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩 线线性变换变换 与矩阵阵之间间存在着一一对应对应 关系.对对称阵阵 的 二次型二次型 的矩阵阵对对于二次型，寻寻找可逆的线线性变换变换使二次型只含平方项项，即f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 定义义：只含平方项项的二次型称为为二次型的标标准形（
