17静定结构的内力分析

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1、17 静定结构的内力分析本章主要讲述几种常见的静定平面杆系结构的内力计算方法，通过本章学习主要应掌握以下几方面内容： (1) 进行各种静定结构内力计算的主要方法有三种，即截面法、结点法、截面法与结点法联合应用，应掌握这三种方法的基本原理和技巧。本章提要(2) 各种静定结构的内力图的绘制，尤其是弯矩图的绘制。应学会用叠加法绘制内力图，掌握常用 的简支梁、悬臂梁、外伸梁等在均布荷载和集中荷 载作用下的弯矩图、剪力图的形式和特征。 常见的静定平面杆系结构主要有：(1) 静定梁包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、 外伸梁）和多跨静定梁，分别见图17.1(a)、(b)、(c) 和图17.1(d)所示。(2)

2、 静定平面刚架包括简支刚架、悬臂刚架、三 铰刚架和组合刚架，如图17.1(e)、(f)、(g)、(h)所示 (3) 三铰拱式结构如图17.1(i)所示。(4) 静定平面桁架包括简支桁架、悬臂桁架、三 铰拱式桁架，如图17.1(j)、(k)、（l）所示。 图17.1 本 章 内 容17.1 静定梁17.2 静定平面刚架17.3 三铰拱17.4 静定平面桁架17.1 静定梁单跨静定梁在工程实际中应用较多，例如一般 钢筋混凝土过梁、吊车梁等，它的受力分析是其它 杆系结构受力分析的基础，因此掌握单跨静定梁受 力分析的基本方法，将有助于进一步结合几何组成 分析去研究其它杆系结构的内力计算。 17.1.1

3、 单跨静定粱由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任 一截面上通常有三种内力，即轴力N、剪力V和弯矩 M。计算上述内力通常采用的基本方法是截面法， 即用一假想截面将构件沿计算截面切开，取任一侧 为研究对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内 力的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡 方程即可求出三个内力。 17.1.1.1 粱内任一截面上的内力【例17.1】如图17.2所示简支梁，试计算距A支座距离为 1m处截面上的内力。【解】（1） 求支座反力先假设反力方向如图17.2(b)所示，以整根梁为研究 对象：X=0: HA-P=0HA=P=4kN即HA方向与原假设方向相同。MB=0: VAl-q

4、l0.5=0VA=0.5ql=0.534kN=6kN Y=0: -QX+VA-q1=0QX=VA-q=（6-3）kN=3kNMX=0: VA1-MX-q10.5=0MX=VA1-q0.5=(6-30.5)kNm=4.5kNm 由上述例题可知：梁内某截面上的轴力N等于该截面任一侧所有外 力沿梁轴切线方向所作投影的代数和；梁内某截面上的剪力Q等于该截面任一侧所有外 力沿梁轴法线方向所作投影的代数和；梁内某截面的弯矩M等于该截面任一侧所有外力 对该截面形心的力矩的代数和。VA方向与原假设方向相同。Y=0:VA+VB=qlVB=ql-VA=(34-6) kN=6kNVB方向与原假设方向相同。（2） 求

5、计算截面上的内力取计算截面左侧为隔离体，如图17.2(c)所示，则由静 力平衡条件得：X=0: NX+HA=0,NX=-HA=-4kN方向与原假设相反。图17.2 （1） 荷载集度q(x)、剪力Q和弯矩M之间的微 分关系设荷载垂直于梁轴线，并向下为正，x轴平行于 梁轴线，向右为正。从梁内截出一小微段，长为dx ，根据平衡条件可得：17.1.1.2 内力图的绘制【例17.2】绘制例17.1简支梁的内力图。【解】在例17.1中已求出该简支梁的支座反力，下面确定 控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座A、支座B和梁的中点。 支座A：根据静力平衡条件可求得其剪力 QA=VA=6kN；该支座为铰支座且

6、该支座处无外力偶作用 ，故其弯矩为零。支座B：同样可求得该处剪力QB=VB=6kN；MB=0。跨中：取跨中截面右侧为隔离体，如图17.3，内力方向如图中所示。 根据静力平衡条件：X=0: NX-P=0NX=P=4kN，方向与原假设相同Y=0: QX+VB-ql/2=0QX=32-6=0MX=0: MX+q(l/2)(l/4)-VB(l/2)=0MX=(64)/2-(34)/24/4=6kNm由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁 各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力 图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最 大值，如图17.4所示。（2） 用叠加法作内力图当荷载种类不

7、同或荷载数量不止一个时，常常 采用叠加法绘制结构的内力图。叠加法的基本原理是：结构上全部荷载产生的 内力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相 等。（3） 绘制弯矩图的步骤 求支座反力 求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面 ）、力偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中 点等； 若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁 的弯矩图。【例17.3】如图17.5(a)所示一悬臂梁，承受均布荷载 q=3kN/m和集中荷载P=4kN的作用，试绘制其内力图。 【解】（1） 求支座反力由于没有水平向的外荷载，因此支座水平

8、反力为零 ，梁内轴力也为零。根据平衡条件：Y=0: VA-ql-P=0VA=ql+P=(31+4)kN=7kNMA=0: MA+P1+q11=0MA=-(4+3) kNm=-7kNmMA方向与原假设方向相反。(2) 计算控制截面内力根据均布荷载的起讫点和集中力的作用点可以确定A 、B、C、D截面为控制截面，如图17.5(b)所示，各控制 截面的内力如下：A截面： MA=MA=-7kNm (上侧受拉）QA=VA=7kNB截面： MB=VA0.5+MA=(70.5-7)kNm=- 3.5kNm (上侧受拉）QB=QA=7kNC截面： MC=-30.50.5/2kNm=-0.375kNm (上侧 受

9、拉）QC左=（4+30.5)kN=5.5kNQC右=30.5kN=1.5kND截面： MD=0QD=0（3） 绘制剪力图将各控制截面的剪力纵标值绘在相应位置上，由于 AB段为无荷段，所以剪力图为水平直线，BC段和CD段荷载为常数，故剪力图应为斜直线，将各段剪力纵标值 相连，即得剪力图，如图17.5(c)所示。（4） 绘制弯矩图将各控制截面的弯矩纵标值绘在相应位置上，由于 AB段为无荷区段，故弯矩图应为斜直线，将两侧弯矩纵 标值相连即可。对于BC段可先取该段为隔离体，如图17.5(d)所示， 由于该段在外力q和内力MB、MC、QB、QC左作用下处 于平衡状态，所以可将该段看作是在MB、MC和q共

10、同作 用下的简支梁，QB、QC左可由支座反力代替，如图 17.5(e)所示。利用叠加原理可分别绘出在MB、MC作用下的弯矩 图（如图17.5(f)）和q单独作用下的弯矩图（如图17.5(g) ，以图(f)的bc线为基线，将（g)图沿竖向叠加上去，即为 BC段的弯矩图，如图17.5(h)所示。同理也可作出CD段的 弯矩图。最后将上述各段的弯矩图画于一条基线上，即为该 梁的弯矩图，如图17.5(i)所示。 【例17.4】如图17.6所示一外伸梁，承受集中荷载P=4kN ，均布荷载q=3kN/m，试绘制其内力图。【解】根据叠加法原理，可把该结构分解为如图17.7所示几种情况。情形:该结构可看作是两个

11、对称布置的悬臂梁，取 CA段作隔离体，内力方向如图17.8（a)所示。MA=0: MA+ql1/2l=0MA=-1/2ql2=-1/2312=-3/2kNmY=0: ql-QA=0QA=ql=31=3kN BD段与CA段相同，由于AB段无荷载作用，所以AB 段的弯矩为直线分布，可直接将A点和B点的弯矩值相连 即可，而AB段剪力为零，如图17.8(b)、(c)。情形:该结构可看作是一道简支梁，其弯矩图和剪 力图分别如图17.8(d)、(e)。情形:对该结构可先求支座反力，以整个结构为隔 离体，如图17.8(f)所示：MA=0: P(l+l)-YBl=0YB=4(2+1)/2=6kNY=0: P-

12、VA-VB=0VA=P-VB=-2kN以CA段为隔离体，求MA：由于CA段上无荷载作用，所以MA=0。以BD段为隔离体，求MB:MB=0: MB+P1=0MB=-4kNm该情形的弯矩图、剪力图如图17.8（h)、(i)所示。将上述三种情形叠加，可求出整个结构的弯矩图和 剪力图，如图17.8(j)、(k)所示。 图17.3 图17.4 图17.5 图17.6 图17.7 图17.8 楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿斜 梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量 等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载， 如梁的自重等。一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分 布的竖向荷载按等值转换为沿

13、水平方向分布的竖向 荷载，如图17.9(a)所示，梁斜长为l，水平投影长度 为l，沿梁轴线方向分布的荷载为q，转换为沿水平 方向分布的荷载为q，则由于是等值转换，所以有： 17.1.1.3 斜梁的内力计算与内力图的绘制ql=ql即 q=ql/l=q/cos下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为 例进行内力分析，如图17.9(b)所示。根据平衡条件，可以求出支座反力为：HA=0,VA=VB=1/2ql则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离 体求出。如图17.9(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方 向（t方向）的分力分别为qxsin、YAsin；在梁法 线方向（n方向）的分力分别为：qxco

14、s、YAcos。 则由平衡条件得：T=0： VAsin-qxsin+NX=0NX=(qx-1/2ql)sinN=0: VAcos-qxcos-QX=0QX=(1/2ql-qx)cosMX=0: VAx-qxx/2-MX=0MX=1/2qx(1-x)由此即可绘出其内力图如图17.9(d)所示。由上可知，弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为 1/8ql2，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同， Q图与同样条件的水平简支梁的Q图形状相同，但数 值是水平简支梁的cos倍。 图17.9 （1） 几何组成多跨静定梁是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联 结而成，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种 梁常被用于桥梁和房屋的

15、檩条中，如图17.10所示。 其简图如图17.11(a)所示。多跨静定梁按其几何组成特点可有两种基本形 式，第一种基本形式如图17.11(b)所示；第二种基本 形式如图17.12(a)所示 ，其层次图如图17.12(b)所示。 17.1.2 多跨静定梁(2) 多跨静定梁的内力计算由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并 不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会 以支座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定 梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分，后 计算低层次的附属部分，然后将附属部分的支座反 力反向作用于基本部分，计算其内力，最后将各单 跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图 。 【例17.5】试作出如图17.13(a)所示的四跨静定梁的弯矩 图和剪力图。【解】（1） 根据传力途径绘制层次图，如图17.13(b)所 示。（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开始， 逐层向下计算： EF段：由静力平衡条件得ME=0: VF4-102=0VF=5kNY=0: VE=20+10-VF=25kN CE段：将VE反向作用于E点，并与q共同作用可 得：MD=0: VC4-4