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1、湖南师大附中 苏林解析几何是高中数学的主干知识之一，教材螺 旋式上升地安排了三部分内容：解析几何初步（直线与 圆）；圆锥曲线；坐标系与参数方程. 其中坐标系与参 数方程为选修内容。解析几何的命题既注重对解析几何基础知识的考查 ，又常结合函数、方程、不等式、三角函数、平面几何 、数列、向量，通过处理轨迹、最值、对称、范围、参 系数等问题来考查学生的数学综合能力.因其综合性强， 运算要求较高，学生在解答解析几何问题时，往往失分 较多。下面将从新旧考纲对解析几何考试要求的变化、 湖南高考及新课标高考解析几何考点的分布、湖南高考 解析几何试题命题特色、若干解析几何高考试题命题探 源等方面谈谈我的一些认
2、识与看法.不妥之处望批评指正!一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化： 1.大纲要求掌握两条直线所成的角，对两 条平行直线间的距离不作明确要求；课标对两条直线所成的角不作要求，但 要求“会求两条平行直线间的距离”； 2.大纲要求掌握椭圆、双曲线、抛物线的 定义、标准方程和简单几何性质； 课标对解析几何部分的要求相对于大纲 有些明显的变化，整体要求有所降低，部分内 容有删减，参数方程放入了选修系列4，但内容 有所增加，主要变化如下： 一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化： 理科要求：掌握椭圆、抛物线的定义、标准方 程、几何图形及简单性质； 了解双曲线的定义 、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性
3、 质。 3.课标对椭圆、双曲线第二定义不作要求；4.大纲要求理解椭圆和圆的参数方程，课标在该处的要求分了两个层次： 文科要求：掌握椭圆的定义、标准方程及简单 几何性质；了解抛物线、双曲线的定义、几何 图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。 一、新旧考纲对解析几何考试要求的变化： （2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选 择适当的参数写出它们的参数方程。（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置 的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会 参数的意义。 课标在选修系列4中对参数方程要求有所 增加：二、考点分布统计分析：理3 文4参数方程与极坐标标理20理21 文21圆锥圆锥 曲线综线综 合理2
4、0理21 文22直线线与抛物线线理20 文19直线线与双曲线线理19 文19文20文19理19 文21直线线与椭圆椭圆理14文5文2抛物线线基本问题问题文13 理12理12 文10理7 文9理7 文8理2 文4双曲线线基本问题问题理12理9 文9理16 文15椭圆椭圆 基本问题问题文14文14理11 文11理10 文7文7,11 理13文2直线线与圆圆10年09年08年07年06年05年04年考点分布表1：2004年2010年湖南高考解析几何考点分布统计表： 理5理23理7理13理23文 2323理23文 23文15理 15参数方程 与极坐标标文13理21圆锥圆锥 曲线线 综综合文19文22文
5、22直线线与抛 物线线理20直线线与双 曲线线理20 文20文19 理19理17理21理19文 17理20文 21理20 文2018理20文 20文22直线线与椭椭 圆圆理8 文9理2理13文12理7 文7文9抛物线线基 本问题问题文13 理13理7文13理8 文10理5理5理9 文96理12文5双曲线线基 本问题问题文11文7椭圆椭圆 基本 问题问题文4文149 15理15文 13文6 理12理16 文16直线线与圆圆陕陕西北京福建浙江安徽天津辽辽宁江苏苏全国课课 标标广东东山东东考点分布二、考点分布统计分析：表2：2010年全国新课标高考解析几何考点分布统计表： 二、考点分布统计分析：从湖
6、南高考和全国新课标地区高考试题考点 分布情况来看，新课程高考仍然注重对基础知识， 基本技能和数学思想方法的考查，试卷结构相对 稳定，一般解析几何的考查有三道题，选择、填 空题重点考查直线与圆、圆锥曲线基本问题、曲 线与方程，解答题以直线与圆锥曲线的位置关系 为载体，重点是对数学思想方法与相关能力进行 综合考查。 二、考点分布统计分析：新课标对椭圆和双曲线的第二定义不作要求， 课标卷中均没有出现相关内容；对双曲线的考查 能力要求有所降低，较少作为解答题的形式出现， 但在基础知识部分的考查频率增加。湖南等部分 省份将坐标系与参数方程作为学生必选内容，故 该部分也作为基本知识和其它知识融合，在小题
7、中进行考查。其它省份则多以选做题的形式在小 题或解答题中进行考查。二、考点分布统计分析：湖南2004年开始自主命题，虽然2010年 才实行新课程第一次高考，但从考点分布情 况、试题命制特点等方面来看，试题的命制 融入了新课程理念，研究这些试题对2011年 高考备考具有指导意义。三、湖南卷解析几何试题特点分析：1、注重对基础知识的考查，覆盖面广：从“2004年2010年湖南高考解析几何考 点分布统计表”可以看出，理科每年均有一至两 道小题，文科有两到三道小题考查解析几何基 础知识，考点涉及直线与圆，圆锥曲线的基本 性质，并将小题和解答题的知识点分布进行了 整体布局，基本覆盖了解析几何几大主要考点
8、 ，注重对直线倾斜角和斜率、直线方程、直线 位置关系，圆的方程、圆的几何性质、直线与 圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线的定义 、简单几何性质等基础知识的考查。 2、注重在知识交汇点命题：三、湖南卷解析几何试题特点分析：湖南高考从2004年开始自主命题，在试题 命制方面很好地融入了“能力立意，在知识交汇 点命制试题，让学生想得多，算得少”等新课程 理念。 2、注重在知识交汇点命题：三、湖南卷解析几何试题特点分析：例1 （04年湖南理16）设F是椭圆 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点 使 组成公差为d的等差数列,则d的取 值范围为 .【点评】以椭圆简单几何性质为背景，将数列、 不等式知识巧
9、妙地结合。 例2 （05年湖南文7）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同 的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是（ ）A20 B19 C18 D162、注重在知识交汇点命题：三、湖南卷解析几何试题特点分析：【点评】将直线方程与排列组合知识结合. 例3 （04年湖南理21文22）如图，过抛物线 x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m0)作直线 与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的 对称点.3、注重对学生能力和素质的考查：三、湖南卷解析几何试题特点分析：（）设点P分有向线段所成的比为， 证明: ； （）设直线AB的方程是x2y12=0，过A、B 两点的圆C与
10、抛物线在点A处有共同的切线，求 圆C的方程. 例3 （04年湖南理21文22）如图，过抛物线 x2=4y的对称轴上任一点P（0，m）(m0)作直线 与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的 对称点.3、注重对学生能力和素质的考查：三、湖南卷解析几何试题特点分析：【点评】以直线与抛物线的位置 关系为主体，很好的融合了向量 共线及垂直、坐标法、直线与圆 的位置关系，导数法求抛物线切 线的斜率等知识，很好地考查了 学生的能力和素质。 ABPQO xy三、湖南卷解析几何试题特点分析：4、坚持数学应用，考查应用意识：应用题已经成为了湖南高考数学卷的特色 之一，湖南高考数学卷每年坚持命制了除概率 统计
11、之外的应用题，前几年一般以函数、三角 函数、数列等知识点为背景命制应用题，2010 年更是命制了以解析几何为背景的应用题。 三、湖南卷解析几何试题特点分析： 4、坚持数学应用，考查应用意识：例4 （2010湖南理20）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在 某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平 面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直 平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图6）在直线 的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过 km的区域；在直线 的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过 km的区域（）求考察区域边界曲线的方程； （）如图6所示，设线段P1P2、P2
12、P3是冰川的部分边界线（不考 虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察 区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年 的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间 【点评】通过命制应用题来定位考查学生的数 学应用意识，落实新课程中“发展学生的应用意 识”的理念。命制解析几何应用 题湖南是第一次，落实了新课 标中对圆锥曲线的要求“了解圆 锥曲线的实际背景，感受圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实 际问题中的作用”。 三、湖南卷解析几何试题特点分析： 4、坚持数学应用，考查应用意识：四、对若干高考解析几何试题探源研究：1、以教材例题习题为背景命制试题： （1）利用
13、教材例题恰当的设置背景和设问方式 命制试题： 例5 （2010湖南理20）（见例4） 【背景探源】背景选自选修21第47页例7 四、对若干高考解析几何试题探源研究：1、以教材例题习题为背景命制试题： （1）利用教材例题恰当的设置背景和设问方式 命制试题： 例5 （2010湖南理20）（见例4） 【点评】给教材中一个很普通的例题，加上一个 应用背景，既考查了学生的应用意识，又考查了 椭圆、圆的定义，以及直线与椭圆、圆的位置关 系，理科试题中还融入了数列知识.具有立意新、 入口宽、覆盖面广、难度适当等显著特色。 四、对若干高考解析几何试题探源研究：1、以教材例题习题为背景命制试题： （2）对教材例
14、题进行深入研究得出新的结论， 巧妙设置问法，命制符合课标要求的试题：例6 （2010年北京理19）在平面直角坐标系xoy中，点B与点 A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 .()求动点P的轨迹方程； ()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存 在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。四、对若干高考解析几何试题探源研究：例7 （2010上海理23）已知椭圆的方程为 ， A(0,b)、B(0, b)和Q(a,0)为的三个顶点(1) 若点M满足 ，求点M的坐标；(2) 设直线l1:y=k1x+p交椭圆于C、
15、D两点，交直线l2:y=k2x于点E若 ，证明：E为CD的中点；(3) 设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆的两个交点P1、P2满足 ？令a=10，b=5，点P的坐标是(8, 1)若椭圆上的点P1、P2满足 ，求点P1、P2的坐标四、对若干高考解析几何试题探源研究：例8 （2010年山东理21）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶点的三角形 的周长为 .一等轴双曲线的顶 点是该椭圆的焦点，设 P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与 椭圆的交点分别为A、B 和C、D . （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线 PF1、PF2的斜率分别为k1、 k2 ，证明 k1k2 =1； （）是否存在常数，使得 恒成立 ？若存 在，求的值；若不存在，请说明理由.【背景探源】背景选自选修21第4
